LIVRE SECOND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS

En réunissant les termes également distants des extrêmes, ce développement prend la forme

Ao-|- Al COS2 0! -+ Aj cos4a: +. • -t- A„ cosawa,

et Ao est précisément le coefficient que nous voulons calculer. On a, quel que soit le nombre entier k,

j COS-i/ra f/a = o;

par conséquent

on en déduit

e-'s/-'y"doc=^- Ao,

" Jo

cos" xclx.

et le problème est ainsi résolu.

521. Poisson a résolu, en suivant une marche analogue, un problème beaucoup moins simple qui s'est présenté à lui à l'occasion du calcul des probabilités. Considérons le produit

iiip, -+- vqt){up-, -+- vq,). . . (up^ -f- vq./,).

Le coefficient de ii'"('" y représente la probabilité pour que, sur p épreuves assignant à deux événements contraires A et B les probabilités successives/?,, y,, p^, q^,..., p„, q„, le premier arrive m fois et le second n fois.

Pour transformer ce coefficient en une intégrale définie, posons

le produit u'"v" deviendra e("'-'')^\/^, et tous les autres termes renferment des exponenlioUes différentes, car la somme m-h n est la même pour tous et égale à [x. Si donc on désigne par X ce que devient le produit (6) après la substitution (y), le coefficient cherché U est égal, on le voit aisément, à

On a, eu effet, pour tontes les valeurs inégales de m et de m' ,

I gmxs/-l e~mUsl-\ flj; -— o^

et pour m =; m'.

/ e -'"•^\/-i e''«\'-i dx — i dx =: ir..

La formule (8) donne donc une soUilion du problème : on peut en éliminer les imaginaires.

On a, à cause de />, + y, = i ,

Soit

pie'^-' -h qie-'^-' = cosx + {pi — ç,) y^— i sin.r.

cos^.r + ip, — qiY sin'.r = p? = i — 4/^,- qi sin=jr,

cos.r = cos<p„

— ( Pi — </i i sin ar = sin o,

il en résultera et si l'on fait

upi+ i<qi = Oie'i N^"',

le produit désigné par X deviendra

et l'expression (8) du coefficient cherché est par conséquent

I C'^ J^ f" ■-- I Y cos\y — ' m — n]x\dx -i | Ysinfr— f'" — «

)x] dx.

La seconde intégrale est nécessairement nulle puisque le coefficient U est réel. On peut voir qu'en effet elle se compose d'éléments égaux deux à deux et de signes contraires, et l'on a enfin, pour l'expression cherchée.

(()) U=-- I Y cos[;f — [m — n)x]dx=:- j Y cos[x — [m — n)x]dx,

et l'intégration pourra s'effectuer par les règles \es plus simples du calcul intégral.