LIVRE SECOND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS. 5(M

Dans les cas simples et lor.sque les facteurs sont peu nombreux, il serait plus aisé de faire la multiplication directement, mais il en est tout autrement lorsque leur nombre est très-considérable et que l'on veut seulement calculer le résultat par approximation. Si u. en effet est un très-grand nombre, les facteurs p,, dont le produit est égal à Y étant tous plus petits que l'unité et en différant notablement toutes les fois que x n'est pas très-petit, tous les éléments pour lesquels x a une valeur finie sont négligeables, et l'on peut par conséquent poser, sans erreur sensible,

p' = I — 4/?. qi sin'x = I — 4p- 7< x\

c'est-à-dire, x étant très-petit,

p. = I — 3/^, (Ji X'

L'erreur commise est en effet insignifiante lorsque x est. très-petit, et, lorsqu'il ne l'est pas, l'élément de l'intégrale est négligeable aussi bien que celui qu'on lui substitue. On aura alors, en regardant toujours x comme très-petit.

/p, =— ip,qix\

lY := — x" l 2/>, (j, -t- 2/?2 q,-\- .

en posant

Hh q.

ip2 q.

c'est-à-dire en nommant P la valeur moyenne du produit ^piqt. L'équation (lo) donne

On a aussi, en négligeant x-,

9, — (pi — q/)x,

X — o, + o, -h . . . -h 0., = X : p, -]- p., -\- . . . + p.,,) — x(q,-h qj + . . .-+■ q.,), et, en nommant/» la valeur moyenne de/>j et q celle de qt,

cos[j — [m — n]x]=:^ cos^ [i'-ip — q) — [m — «;],

et on pourra prendre enfin

fn) U=:- / e-^'''-'^co^x[i).{p — q) —[m — n)]dx.

Car les éléments de cette intégrale pour lesquels x n'est pas très-petit sont évidemment négligeables à cause que [j.k?' est un grand nombre, et les deux exprès-

sions (9) et (11) coïncident approximativement pour tous les éléments dont l'influence est sensible. On a enfin fl82)

[|i(;)-iy)-(»i-n)l-

ce qui, dans le cas où/;,- et q, sont constants, s'accorde avec l'expression donnée (320) pour la valeur approchée d'un terme de [p + qY-

Transformation de la fonction X„ en intégrale définie. 522. On a fl99), en désignant par A et B deux nombres réels,

A -t- B y'— I cos(

\l — I ces W

A = I — a C0S(p, B = a sin®.

la formule (i3) donnera

I — 2a cosc» -t-

21tJo (l-

: coscp) + a sin çv'-— I cosc

Développons les deux membres suivant les puissances de a. Le coefficient de a" dans le premier membre est ce que devient la fonction X„ quand on y remplace x par cosy; nommons-le P„. En l'égalant au coefficient de a" dans le second membre

facilement obtenu en développant en série la fonction placée sous le signe /> on

trouve

P„=: — I (cos© — 1/—1 sinocos&) )"«'''>•

Si l'on pose cosç — x, cette formule devient

(i4) X„= — / [x — dx'— \ cosm)' dMT= - 1 [x — \/x'— i cosMj'ci'j).

On peut en conclure aisément que, pour chaque valeur de x moindre que l'unité en valeur absolue, X„ tend vers zéro lorsque /i augmente indéfiniment. Si, en effet, dans l'intégrale (i4). on remplace chaque élément par son module, le module

"LIVRE SECOND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS, de la somme, comme on sait, sera augmenté; on a par conséquent

+ ( I — a.-- ) cos'mT (/&),

et tous les éléments du second membre tendent vers zéro lorsque n croit indéfiniment.

523. Diriclilet a donné une autre expression de X„. On a, en adoptant les notations précédentes,

Posons

nous aurons

( I — 2 a COS9 -+- «•' )~ ■' = Pe + P, a + Pï «■-■ 4- . . . + P„ a" -t- . .

«= eV-

(i — 2e'v'-' COS9 + e''V-') ^— -P„4- PiC0s9 +. . .-I- P„ cosnS +. . .

+ v'^(P,sin3 +. . .+ P„sinA49 + ..;.

Si donc on pose

fi— 2eV"^cos9 + e'H/^j ' = G + Hv/— i, on aura

G := Po + P, cos 0 + Pî cos 3 0 4 . . . 4- P„ ces rt 0 -h. . ., H = P, sin 5 + Pî sin s 9 4- . . . 4- P„ sin M 9 4-

Les expressions de G et de H sont faciles à former; mais elles changent de forme avec la valeur de 0 et ne sont pas les mêmes, suivant que cosô est plus petit ou plus grand que cosy. On a identiquement

i — 2eV-' COS9 4- e'"^-' = 2e'v'-' (cosO — C0S9!.

1 9 /-. , , cos V— I sm -

(1 — 2«cos9 + 3;'; ' := e ■ 2 ^(cosù — COS9) =

v'2(cos0— cos 9!

Mais si l'on a au contraire cos5 < COS9, il faudra écrire

— 2 5:roS9 4- «•) '' =

sin — h J—i cos- 2 ' 2

v'alcosç — cosôj

5Di DEUXIÈME PARTIE. - CALCUL INTÉGRAL.

et par conséquent, dans le premier cas, cosô étant plus grand que cosœ, on a

cos- 6

v/2(cos6 — costp)

sin- 6

\/ 2 [cos 9 — coscf) et, dans le second cas, lorsque cos9 est plus petit que cosç;,

sin- 6"

y/2 (cos 9 — cos 9)

cos- 9