SOS

et

Po

Gde.

On déduit aussi de (17)

P„= - / Rs\nn6de,

et, en remplaçant dans ces équations G et H par leurs valeurs, on a les deux expressions de P„ :

/cos-6cos«5 /

. v'2(cos6 — COS9) Tf t/ y

/sin-Ôsinnô /

„ i/2(cos9 — cosffl) '^ i/a

sin-e cosnS

V'2(C0S(p — cosô)

de,

ces- esmrec a ■

'f v^2(cos9 — cosÔ)

de.

La valeur de P„ serait donnée par la première de ces équations, dans laquelle, après avoir fait n = o, il faudra diviser le second membre par 2.

Solution d'un problème plus général.

524. Laplace a résolu un problème plus général et indéterminé comme le précédent :

Exprimer par des intégrales définies le coefficient de x" dans le développement suivant les puissances de x de V expression

Posons

( «0 + rt, X -t- «1 .T' + . . + rt„, X" Y = )\ -\- j\x + y\ a::' + . . . + j)-„ a;" + . . . ;

prenons les logaritbmes des deux membres et égalons les dérivées par rapport à X '. nous aurons

^.(a, + 2«ja: -)-. . . -f- /na„a;"'-') /,-(- aj^ar + . . . + n j„a:"-' + ..

a, -f OiX + tttx'' -\- . . . + a„ x"" y, + y^x + y-,x''-^. .. + y„x" -^ . . .

En chassant les dénominateurs et égalant le coefficient de xf~^ dans les deux membres, on trouve la relation

(24) na»j„-f-(M — i)«,j„,, +...-(-(« — m)rt„j„„, = fjt(a,j„, -1- 2flf,j„j-l- ...-1- ma„j-„ .„), I. Cale. int. Q[\

soc DEUXIÈME PARTIE. - CALCUL INTÉGRAL.

et cette équation permettra de calculer le coefiicient y„ lorsque les précédents

seront connus. Pour y satisfaire, posons

et cherchons à déterminer les limites p et q ainsi que la fonction o{x), de telle façon que l'équation (2/1) soit satisfaite.

Cette équation devient, lorsqu'on y remplace r,, jj,..., j„ par leurs valeurs

n«„ / ^"-' 9(ar) a.r + (h — i)«, I x''-''(if[x)dx -h . . . + [11 — m)cu \ x'-"-' !f{x)dx " p Jp J p

= !■>■ I <fi(,^)dx{a,x"-''-h ■}.aiX"-'-i- . ..-h ma^x"""-'). Jp

En intégrant par parties les intégrales qui figurent au premier membre, on traq^sforme cette équation en

9(;r)(aoa;"+rt,.r"-' + . . .H-rt„,ar"-"')^— 1 ^'{x)dx[a^x"+ a.x"-' -\- . . . + a„x"-")

— [>.{ cp(x; Jp

dx ( a, .r"-' + 2 rt, a:"-' + . . . + mam x"-"-' ]

et cette équation sera satisfaite si l'on pose

(26) 0= <i^'{x){a:,x"+a,x"-'-\-.. -h a^x" -"•)■+- [x(f,{x){a,x"-' + 2fl,x"-'-i- ...4- ma„x"-"-') et en même temps

De l'équation (26), on déduit

9'(^) 0,3:"-'+ 2aj.r"-'-4-. . -hmamX"

<f(x]~ '^ UtA-'-ha, X"-' + ... + «,„ x"-"

c'est-à-dire

d /a, a, o'ix) dx\x x'

Cf(X)