Soit

cp(.r) = ^'"4- A, X"-' -i- A^x-'-''-^- . . .-I- A™ = 0

une équation algébrique dont les racines rangées d'après l'ordre de grandeur de leur module, sont oc,, «a,..., a,„. Nous allons exprimer par le moyen d'intégrales définies la somme

i étant un nombre quelconque inférieur à m, et p un exposant entier arbitraire. 11 est clair qu'en changeant i en j '+ i , on aura une expression nouvelle dont l'excès sur la première sera «{V,.

On a

(3o) cs^[x) = {x — a.x){x — a,). . .{x — (Xm),

et par conséquent

(3i) l(if[x)= l(x — a.,]+ l{x — x..)+. . .-\-lix — ot.„,).

Soit k un nombre compris entre le module de a, et celui de «,+,. Posons , x=ke"^-'.

Les j premiers termes du second membre do (3i; seront développables suivant les

a08 DEUXIÈME PARTIE. - CALCUL INTÉGRAL.

puissances de ji et les suivants suivant les puissances de k. On aura, par exemple,

/(.r — a,) = / I 'y+lx— Ix-

\ xj X -y.x^ ix^

Si l'on développe de cette manière tous les termes du second membre de (3i) en y remplaçant successivement x par ^e'"^"' et par ke'"'"'-* , et faisant la somme et la différence des résultats obtenus, on aura

:= lllt'-~ 2 > -,- COSW -1- ~, CCS 2 0) + •• + 2 > ^ ««« COSCO C0S2&, -1 )

^ai '<■ 2/1^ Aui-n 2 a„ la.;,

= /&)+> -- sinw + — ;- sin2w +■■•—> — sin ro H sinîw + ■ • ••

^1 « "i-li L.4i+i et.,, 2a,,

Multiplions les deux membres de ces équations respectivement par cos/;w</w et par sin/jw c?&), et intégrons entre les limites w = — t: et o) = + 7:, nous obtiendrons, en ayant égard aux formules (138),

— / L'?(«*"^~'j + ^ij?(e"*""v'-ijj cos/jw rfco

27rv/— i./— jr et, de ces deux formules, on déduira les sommes

a'; + ce'; -h . .

exprimées chacune au moyen d'intégrales définies.

Nous n'insisterons pas sur ces formules plus curieuses qu'utiles, données par Jacobi dans l'un de ses premiers Mémoires.