LIVRE SKCOND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS
Fonctions génératrices cV Ahel.
526. Abel a ré.solu plusieurs problèmes de la nature'de ceux auquel est consacré ce chapitre en subslituant à la recherche d'une fonction inconnue celle d'une autre fonction que, suivant une analogie déjà signalée par Laplace, il nomme Va fonction
génératrice.
Si l'on a
¥{z)dz,
F(z) est nommée la fonction génératrice de 'f(oc), ff{oe) est la déterminante de ¥{z).
Abel ne s'est nullement occupé de rechercher s'il est vrai qu'à toute fonclipn correspond une fonction génératrice, ni à plus forte raison comment une fonction étant donnée, on peut en trouver la fonction génératrice.
Un géomètre anglais, Murphy, a donné de ce problème une solution qui, malgré les cas d'exception très-nombreux qu'elle présente, mérite d'être rapportée.
Si l'on a
o{x)= I e -"F{z]dz,
en posant e~^ = / et nommant t|^(^; ce que devient F(z), on en conclura
a{x)--= 1 t'-' <\){t)dt.
Jo
Murphy énonce le théorème suivant :
. La fonction i|>(/) est le coefficient de - dans le développement de y (a;) f'^ en série ordonnée suivant les puissances de x.
Supposons, en effet, que (^{x) soit développable en série de la forme
, , A| Aï A3 ' ^ X x^ x^
On a identiquement
£lipt'-'dt-^<fia)£i'-^
dt
Développons les deux membres suivant les puissances de - et égalons les coelB-
cients de -• On aura, en nommant T le coefficient de - dans le développement de
fia] t"
mais, par hypothèse.
dt= coeff. de - dans "
, , Al A2 A3
et
I I / « fl' \
par conséquent, en multipliant.
„ , I , 9(a) A, A2 As coeff. de - dans ^ = 1 -H + • • = 9 x ,
et par suite
/ '\t'-'dt — (i{x),
où T est le coefficient de - dans — ^-» ou, ce qui revient au même, le coefficient de - dans —^ •
527. Quoique l'ingénieuse solution qui précède soit évidemment soumise à hien des restrictions, elle peut être utilisée dans un grand nombre de cas. Cherchons par exemple à déterminer la fonction ^{t) telle, (pie
On a, dans ce cas,
Or
X + m / ni\ X x' x'
et, par la multiplication, on voit que le coefficient de - » dans le produit —
est
On a, en effet,
