i + ait

et l'on a

En remplaçant le produit i . 2 .3. . . fm — i) par r(/n), on obtient une formule exacte quel que soit m.

Solution de quelques problèmes.

529. Problème 1. — Trouver une fonction (f{t) telle, que l'on ait, pour toutes les valeurs entières de n inférieures à un nombre donné m,

I <f{t)t'dl = o.

Le problème étant indéterminé, nous pouvons supposer à la fonction (f{t) une

forme particulière

(f(t)=l-^ Atl -h \,t'-h. . .+ A,nt"',

en y introduisant, pour rendre la solution déterminée, un nombre m de coefficients précisément égal au nombre des conditions à remplir. On a

'J]t"dt .

Le second membre est une fraction rationnelle ayant pour dénominateur

et, comme il doit s'annuler pour n = o, n — i,..., n = in — \, il faut que le numérateur soit de la foî*me

Posons donc

Cn(« — i) . . . (rt — m -f- 1

;i + /n 4- I ( ra -h 1 ) ( re 4- 2 ) . . . ( « + m 4- I )

et, en décomposant le second membre en fractions simples, on obtiendra, par

l'identification du résultat avec le premier membre, les valeurs de C, A,, A,

A,„, savoir :

en sorte que

m(m + i),, m{m — i)[in + i)(m-^-i)

ni{ m.— I ) ( m — 2 ) ( m + i ) ( m 4- 2) ( m -t- 3 } 1.2.3 1.2 3

et l'on reconnaît dans le second membre la dérivée m"'"'' du produit

I r inim — i) ,1 I d"'ri\ — tr

ce qui s'accorde avec (369).

LIVRE SECOND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS. Si l'on pose / = - — '-, on en déduit

l{\ — t]z= -~,~- , dl= ' dx,

cl l'e.xpression de (p U) devient, on le véritie aisément,

I I rf"'(i— .rM™

ce qui (I, 288) est l'expression de X„,. Les limites o et i de t correspondant aux limites — i et -l- i de x, on voit que le résultat précédent équivaut à ce théorème très-important dans la théorie des fonctions X,„ :

Pour toute valeur de l'exposant p inférieure à m, on a

/ xfXmdx =: o;

on en conclut que, p désignant un nombre entier quelconque moindre que m,

/ K,„\,,dx = o, <■' — I

cette équation s'applique évidemment toutes les fois que les indices m et p sont inégaux, car l'un des deux alors est plus grand que l'autre.

530. Problème II. — Trouver une fonction /[œ) par la condition

^ Jo {a-xy

On a(322j

Soit ,^ = 1 — n, on trouvera

r;a:)r(i— «) r(a -Hi — «)'

d'où l'on tire, en faisant y= -■,