QUELQUES DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

Théorème de Taylor.

531. L'étude des intégrales imaginaires conduit à une démonstration du théorème de Taylor par laquelle les conditions d'exactitude et de convergence énoncées (I, 380) sont immédiatement mises en évidence.

Soit ç>(z) une fonction de la variable imaginaire z; supposons-la finie, continue et bien déterminée pour toutes les valeurs de z dont le module est inférieur à une limite R. On entend par là, ainsi qu'il a été expliqué (I, 380), qucpour toute valeur de z de module inférieur à R la fonction est finie, qu'elle n'a qu'une seule valeur, et que, de plus, pour un accroissement infiniment petit dz attribué à z, le rapport de l'accroissement de la fonction à celui de la variable est déterminé et indépendant de z.

Soit a une constante de module inférieur à R, la fraction

a, d'après nos hypothèses, une valeur finie et déterminée pour toute valeur de r de module inférieur à R. Le numérateur est en effet toujours fini, et, si l'on suppose z == a, la fraction se réduit à <f'{o(.j. D'après cela, l'intégrale

ry(z)— y(«) j,^

prise autour de la circonférence du cercle de rayon R ayant l'origine pour centre, est égale à zéro (335), et l'on a

dz.

Les intégrations étant effectuées autour de la même circonférence. Le second