LIVRE SECOND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS

membre de l'équation (2) .se calcule aisément. On a (344)

dz

et par conséquent

L'équation f -2) donne par conséquent

>ia):

Pour tous les points du cercle le long duquel on intégre, le module de :; est égal à R et plus grand par conséquent que celui de «. On peut donc remplacer par la série convergente

et l'équation (3j devient

Si l'on pose par conséquent

j -^i^ dz = A„,

l'intégrale, prise le long d'une circonférence pour aucun des points de laquelle la fonction ne devient infinie, est évidemment finie et déterminée, et l'on a

(tJ)

[ A„ •+• A, s: -1- A, yr -\- . . .-h A„ y." + ...).

La fonction <p{<x) est ainsi développée en série corwergente ordonnée suivant les puissances de a.

La possibilité du développement étant démontrée, la méthode des coefficients indélerminés devient légitime. En faisant a = o successivement dans ré(iuation {6) et dans ses dérivées prises par rapport à c(, on trouve

et enfin

(8) (p(aj = 9(o)-H«9'(o)+ ■^-?"(o)+ ^- ^2.3... ,^ ?"(«>) + ••••

C'est la formnie de Taylor qui se trouve ainsi démontrée pour toute valeur de la variable dont le module est inférieur à celui pour lequel la fonction peut devenir infinie ou mal déterminée.

532. La comparaison des équations (5) et (7) donne la formule

, , 9"(o) 2 f'fizjdz

^^' ■ 1.2.3. ..« 27rs/^=^J •z"^'

où l'intégration est effectuée sur le contour du cercle de rayon R, ayant l'origine pour centre.