La démonstration précédente suppose que la fonction

ne soit pas infinie pour z = a et que par conséquent la dérivée ç'(«) ne devienne pas infinie. Cette condition sera toujours satisfaite, et quand une fonction est bien définie, finie et continue, la valeur de la dérivée est toujours finie.

La série (6) est démontrée en effet pour les valeurs de a qui ne rendent pas 9' (a infini. Mais les deux membres de l'équation (6) sont (I, 267) des fonctions continues de a et ne peuvent être égaux pour les valeurs de « infiniment voisines de celles pour lesquelles l'exception est à craindre sans l'être aussi pour celles-là. Le développement est donc applicable à tous les cas, et l'on en conclut que la dérivée 9' (a) ne peut pas devenir infinie.

Théorème de Laurent.

534. Lorsqu'une fonction devient infinie pour la valeur 3 = 0 do la variable, elle ne peut pas évidemment être développée en série ordonnée suivant les puissances entières de z, mais on peut quelquefois remplacer ce développement devenu impossible par un autre dans lequel figurent les puissances positives et négatives de z.

Soit (p(z) une fonction continue, définie sans ambiguïté pour chaque valeur de z et restant finie ainsi que sa dérivée lorsque le module de z est compris entre deux limites R' et R". Soit a une constante dont le module soit compris entre les mêmes