I. Ctilc. in t
on en déduit
' dx
/dx b . x'' I b- — lac C t
X'' z 2 a- z ax ïoI' J
J x' z a' X lax' \in' 2a'')' z \2a' ^n^ ) J -2
r dx ^ b' — 2ac.x' I b /*' iL\ 1 ■> n' c' — ^jib' c -\- b< T dx
J X* z 2«' Z Sax' 2a''x' \a' a') x aa* J z
/dx .
-- ■. à laquelle toutes les autres se trouvent ainsi réduites, a été
donnée (23). On a
r dx 2 2CX -\- b
I i ; == arc tane
Ja + bx + cx' sl^ac — b' \/iac ~ b'
2 , 9.CX + b — \/b^ — âac
log
V'fr' — 4 «c \/a+ bx + ex''
1CX -'n b
secl. hyp. col
slb^—^^ac \lb'' — ^ac
40. On peut former des formules de réduction analogues pour les différentielles dans lesquelles figurent les puissances du trinôme {a -\- bx" .-h cx^"). On a identiquement
(i) -.— x'"{a+bx"+cx'"')'' = mx"'-'{a + bx"+cx"'y+px'"{nbx"^ '+2ncx''"-'){a+bx"+cx^"y'-' = max"'' {a + bx" + cx^'')p-' + {m + np) bx"'+"-' (a + bx"+ cx"')p~' + [m + 2np)cx"'->-"-'{a + bx" + cx''")p-'.
En intégrant les deux membres et posant, pour abréger, a + bx" + ex-" = z, X"' zfr^ ma j X"'- ' zP ' dx + {m + np)b j x"'+"'' zf-' dx + {m + ■?.np)c j x""^'"-' zi'~' dx. On en déduit, en remplaçant/? par/? + i,
{2} fx--' zr dx = ^ Z"-' - y^+ZLii+Z» r^™-.» -, ,. dx
^ ' J arn ani J
c]n^+2n{^+p)] r^, ^^ ^^^ ain J
et en posant m + 2n=^ ni et p — i = p', résolvant par rapport à la seconde
intégrale du second membre et supprimant les accents,
r ; x'"-'" a(m— inp) C -, , j
J c{m+ 7.np) c{m -{- inp] J
c{m + 2np) J
On peut d'ailleurs vérifier directement, par la différentiation des deux membres, les deux formules analogues et plus simples
(4) / x'"^' zP dx — — zf ^ / x""^"-' zi'-' dx — — -~2 / x"'+'"--' zi"' dx,
(5 / X'"-' zP dx = ; 2/-+' -, : I x""-'"-' zi'+> dx — — I X'"-"-' zf dx.
J ivn(p+i] ■>.cn{p+j]J 2c J
L'équation (3), résolue par rapport à la première des intégrales qui figurent dans le second membre, donne
I x"'^-"-' zi'+' dx — ii- '- I .r"' ■' zi' dx -— l x'"-" ' zi' dx. ■
J m — inp m — -inp J m — 2up J
Mais on a
x"-"-' , . , bzP azi-
x"^' 21' — [a + bx" + cx^"] zP x'"^"^' — ■» — x"-'"-'.
Remplaçant x'""^ z^ par cette valeur dans la première intégrale, posant m -h 2/1— i — m' et p + \ = p' el supprimant les accents,
6 / X'"- ' zi' dx = zP -\ I X'"-' zi'- ' dx
J m — inp -\- i m — inp + i J
bnp
m — inp +
il--' dx.
Si l'on résout par rapport à la seconde intégrale du second membre, en posant m' + n = m" et p' — i = p" et supprimant les accents.
7 I X"-' zf dx—— ,—7 : zi'^' H ■ / ^ , ■ I x"'"-' ZP+' dx 1- / x"'-"-' zi' dx.
J bn{p + i) bn{p+i) J bj
41. Si l'on suppose n— 2 et par conséquent a + bx'--\- ex'' = z, on trouvera, à l'aide des formules précédentes, des formules qui permettront de ramener les inté-
, rdx rdx , rxuix , , rdx
gralesj -^,j ^,--.aj - et aj --
/dx r x^ dx — 1 I ; auxquelles les autres se ramènent, devront être
calculées directement par la décomposition en fractions simples.
On a, en posant m = ^— -, n = >
dx i / « XI ^ \
- arc tang arc lang — >
bx^ 4- ex' Jq \n n m
et si b'- — 4«c est négatif, en posant ^ = v/ -1 cos2<p = ^^
/«/a? I f , x''+2kx cos (SI + k'' , . . 2kxs\ncf>\ 1 = n—, l --. 7 i-., + 2 cet o arc tang -.- ^ ■ a+bx' + cx* 8eA'C0S<p\ a;'— 2/fa7COScp + A' ' h^ ~ x^ )
On a enfin Ç xd^
J a + bx'
I , b -\-icx'' — \lq I . 6 + 5 cr' / ^ = -^=.= arc ♦"""
sjq b -\-icx'' + \jq sj—q
dx I / X ^ x'y
-Jr ex' ■2.\jq b -\-2cx' -i- \jq \/—q ^— Ç
m arc tang n arc tang
ex' \Jq \ " "^ " "
I /, x''—'ikx cosQ -\-k' . , a/i-rsinç
= 5-r log -^ , J——,- 4- 2 cet 9 arc tang -y- ~
SA-ccostpV " ar'+ 2/fa:C0S9 4-/f ° h' — x^
Le cas où i* — (\ac = o fait exception, et l'on a
i = r 1 — =:= arc tang a: i/ -1
+ bx'' -\- ex' b(2a + bx-
/x^dx 2« / I ./b x Y
a+bx'-^cx'~ T\Jt^^^'^ ^"^^^ \ ia la+bx')'
Toutes ces formules s'obtiennent par la décomposition en fractions simples, qui n'offre aucune difficulté.
42. Donnons enfin un dernier exemple de transformation simple et élégante. Soit à calculer
r dx
Posons
on aura
{i — zy
dx
(— lY^dzii — zy—''
et, après avoir développé le numérateur, on intégrera immédiatement la différentielle composée d'une somme de monômes.
