INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIELLES ALGÉHRIQUES IRRATIONNELLES
43. Lorsque l'expression d'une différentielle contient des radicaux, il est le plus souvent impossible d'en obtenir l'intégrale. Nous énumérons dans ce chapitre le petit nombre des méthodes qui peuvent y conduire et des cas dans lesquels on peut les appliquer.
Différentielles qui contiennent [ax -hb)'' .
44. Lorsque le radical dont la présence rend l'expression irrationnelle porte sur un binôme de la forme ax -h b, on peut toujours faire disparaître l'irrationnalité par un changement de variable et intégrer ensuite par la méthode exposée dans le chapitre précédent.
Soit, en effet, la différentielle
F \^x, {ax-h b}^\ dx,
dans laquelle le signe F désigne une fonction rationnelle de x et de [ax -+- b)^\
en posant
{ax-hb)'f = z,
on aura
, Z1-' dz dx T=q ;
la substitution de z à a; rend par conséquent la différentielle rationnelle et permet de l'intégrer.
Il est évident que si l'expression contient plusieurs radicaux portant sur le même binôme ax + b, on pourra les réduire au même indice et rentrer ainsi dans le cas précédent.
45. Lorsque la différentielle à intégrer contient une expression de la forme
ya+vma?4-«, on peut la rendre rationnelle et par conséquent intégrable en posant
a -+- y'ma? + n = s',
dx =
et la substitution de ces valeurs rendra la différentielle rationnelle.
On peut évidemment traiter de la même manière toute expression algébrique rendue irrationnelle par la seule présence d'un radical de la forme
Va + "^px + q; on posera
a -f- "Ij px -h q =: z",
P dx=^ — [z" — a )'" "' z"-' dz ,
et la différentielle exprimée en fonction de z deviendra ainsi rationnelle.
Cas oii la différentielle contient \Ja + bx H- cx'^ .
46. Lorsqu'un radical ne porte pas sur un binôme du premier degré, le seul cas étendu dans lequel on sacbe intégrer l'expression dans laquelle il figure est celui où il se réduit à la racine carrée d'un trinôme du second degré.
On peut toujours intégrer une différentielle de la forme
(i) Y {x, sja-h bx + ex') dx,
le signe F désignant une fonction rationnelle quelconque de x et du radical \Ja-h bx -\- ex' .
Plusieurs transformations permettent, en effet, de rendre l'expression (i) rationnelle et de l'intégrer par conséquent au moyen des méthodes exposées au chapitre précédent.
Supposons d'abord que sous le radical le coefficient a de x- soit positif: on peut le réduire à l'unité en faisant sortir du radical le facteur \/a. Occupons-nous donc
d'abord de la différentielle
F {x, \/\. + Bx-hx^} dx.
Pour la rendre rationnelle, posons
^A-l- Ba? + x' =^x -\- z;
A + Bx = 1XZ 4- z\
X = ij 1
B — iz
2(2'— B2 + A)rf2
dX = p5 TT 5
et la substitution de ces valeurs rendra la différentielle rationnelle. On atteint le même but en posant
On en déduit, en effet.
V'A + Ba; + x^ — xz -h y^A.
B -\- X = 2Z \/A ■+■ xz', 2zJA-B
, z's/l — Bz-^s/Aj dx — 7. — ^— — dz ,
\/ A. -\- Bx + X' =
z'V^ — Bz-H ^A
On doit remarquer toutefois que dans le cas où A est négatif cette transformation a l'inconvénient d'introduire des imaginaires dans le calcul.
Une troisième mélbode consiste à décomposer le trinôme A -+-Bx + x^ en facteurs du premier degré, (x — a) {x — /3), et à poser
on en déduit
Q -xz' X = ~ — ■ — — »
40 DEUXIÈME PAttTIE. - CALCUL INTÉGRAL.
La différentielle devient donc encore rationnelle. Cette transformation, comme la précédente, introduirait des imaginaires dans le calcul si les racines a et /3 n'étaient pas réelles.
47. Lorsque le coefficient de x"^ sous le radical est négatif, la différentielle peut être mise sous la forme
F \x, v/Â+~Ba7 — .r^j dx.
On peut la rendre rationnelle en posant
y/A + Bx — a?^ = V'-'^ + 072.
Lorsque A est négatif, cette transformation introduit des imaginaires; on devra alors remplacer le trinôme par le produit (« — œ) [x — j3) et poser
Cette transformation le rendra rationnel.
S'il arrivait que A étant négatif les racines « et |3 fussent imaginaires, les deux méthodes indiquées introduiraient Tune et l'autre des imaginaires qui sont alors inévitables, car le radical y/A -4- Ba? — a?^ est imaginaire pour toute valeur réelle de X.
48. Nous donnerons quelques exemples des transformations précédentes. Cherchons l'intégrale
dx \ r* dx
V'A-hB.r + Ca;^ V^C / /A B
Posons, conformément à la première des méthodes indiquées.
/A B on en déduira
dx idz
et
C dx 1 , /B \ ' , /'B , . /A , B \ ;\
J slk + \ix + Ç.x- sjÇ. \^ I ^C \^ V L L )
En remarquant que /a= — /- et supprimant une partie constante, cette intégrale
prend la forme
( 2 ) --^ ' ( H- a: VC H- VA-t- lij;--f-La?'
Lorsque C est négatif, la formule est encore applicable, mais elle est compliquée d'imaginaires; on peut la transformer à l'aide des formules (1, 37Q) ou clicrcher directement un résultat réel de la manière suivante. On a
dx I dx dx
"" ''-"^^^=1^" >'=-v-^^-(-fcy
