LIVRE SECOND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS

la désigne par 9 ix), on aura

(f ' x"^ sin Jix (/x =:'i I cos.rsi

sinnar dx.

Cette intégrale est nulle si n est impair, et égale à -^-- si n est pair; on en conclut

cosa: =: - — ;r sin2.r 4- 7p-= sinA-i? -f- 1= — sino.r + • r \i .3 3.5 5.7

557. La formule (27) (546) contient implicitement le développement de toutes les fonctions en séries ordonnées suivant les sinus et cosinus des multiples de la variable. Dans certains cas cependant il est plus aisé de trouver directement le développement qui fait'connaitre alors la valeur des intégrales qui représentent les coefficients.

Développement de Isïnœ. — On a identiquement

cos:r = cosa: — cosSa: -+■ cos3:r — cos5.r -+- cosSx — cosy^r -+- 00873: — . . .,

c'est-à-dire, en réunissant les termes deux à deux,

cos.r = 2 sin^lsinaa: + sin4.*^+ . . . + siny.nx) 4- cosfa» + i)^,

et par conséquent

cosar sinar

2 sin3j;,-t- ssin^x

2 sm2«.r

sm.r

Multiplions les deux membres par dx et intégrons depuis la limite x jusqu'à la

limite -1 nous aurons

— Isinx ^^(i + cos2.r) 4- ( h - cos4-^) + ( 2 + o cosSxj -i-

-+- I 1- - cos9.nx + I

C0Sf2« -(- l]x

sm^

Si dans cette équation on fait croître n indéfiniment, en remarquant que

on a

/sin;r = — It: — ces f.x —

cos4^ cos6x cos2na;

,. C^ cos{in+ i)x , Iim. / -. dx,

r53f) DEUXIEME PARTIE. — CALCUL INTÉGRAL,

l'intégrale

cosCare + i)^ , : ff.r

a pour limite zéro. On peut la partager en effet en intégrales partielles prises entre des limites telles que les éléments soient alternativement positifs et négatifs, et la -différence de deux éléments consécutifs est infiniment petite par rapport à la somme de leurs valeurs absolues. Or la somme de toutes les valeurs absolues est finie, car elle est moindre que

sin^r

L'intégrale {[^i) a donc pour limite zéro, et l'on a enfin

(43) . ls\nx = — l-y. — cos?.x cos4.^— , cosGa^ — •• •

Cette formule se trouve démontrée ainsi pour les valeurs de x comprises entre zéro

et -1 mais elle est évidemment exacte lorsque x varie de - à ;:, car le second

membre ne cbange pas non plus que le premier quand on y change x enn — x. La comparaison de l'équation (43) avec le théorème (545) donne aisément

(44) / ls\nxdx^ '-If;

I co^'f.nx ls\nx dx^= — -;— •

Jo 4«

558. Développement de lT{x). — M. Kummer a Irès-élégamment associé la méthode des coefficients indéterminés avec l'emploi des formules générales pour développer /r(ir) en série ordonnée suivant les sinus et cosinus des multiples de 2nx.

Posons

(46) ^ r(x) = Ao -I- 2A1 cosairar -h aAj cos47:.^ -t- . . .

+ 2B, sin 27:^-1- 2B2 sin /ii:x + . . . ,

la formule s'appliquant (549) aux valeurs de x comprises entre zéro et l'unité. On a (295)

(47) Zr(^) + /r(i - x] = lTix)T{i — x) = l9.T: — l{9. sinizx).