LIVRE SECOND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS

D'ailleurs (557 j (48)

— /a sinTra: = cosaTr^ -| — cosiT:.^? -+- tt cos67:ar + • • • •

En remplaçant lT{x) et /r(t — a;; par leurs développements déduits de (/\6] et 1 2 s'mnac par la formule (4^;, nous aurons

2A„ -I- 4A, cos2-ar + 4 Aï cos4ftj-' + • • •

d'où l'on déduit

= /27T + cos27L.r + - cos4~'^ + T7 cosdrx- -f-

A„ = - liTi, A„ = , • 2 4«

Les coefficients des cosinus étant connus, nous aurons recours, pour calculer les autres, à la formule générale f549)

On a (314j

par conséquent

B„ ==; I lT{x)s\t)im:x dx.

s\n2mix dx dz

L'intégration par rapport à x peut s'effectuer. On a / sin iHT.x (Ix = o,

Jx s'\ninr.x dx = — »

Rn posant z = g-^'"",

3J 2reTr

''■- An £{jiT -'-"')

dt t'

F. CWr. int.

Si l'on fait n = i,

dt

et

c'est-à-dire f24r

nB„-B, ==^ r (6- = =^' -«-='-')-',

«B„ — B, = — In,

in

et tous les coefficients B„ se déduisent par conséquent du premier B,

B, lui-même peut se déduire d'une intégrale dont la valeur numérique trèsexactement calculée joue un rôle dans plusieurs recherches. Posons

C=/ (e-'+ ^^j y = 0,5772156649, nous aurons, d'après la valeur de B,,

B,--^C=^'- fP-T.--^ --'--"')?'

c'est-à-dire (241j

I „ I , I /"^ / I \ \dt

B, G= — /27îH / [-—., -i~,)t-

271 271 2 71^0 Xl + t" \+tJt

Mais l'intégrale qui forme le dernier terme du second membre est égale à zéro; si l'on y change en effet t en -■> elle se transforme en une expression idenliquement égale et de signe contraire qui doit lui être égale.

On a donc enfin

et

(49) lV{x) — - 1{2t:) + - cos27r.r + j cos47ra? -+-•■•

+ - (G -1- /27r) ( sin27T;c H — sin47r^ -<-

+ - ( /i sin2rx + - /2 sin47rar + ^ /3 sin67rar + •••)• t: \ 2^3 /

559. On peut aisément rattacher à cette formule la propriété de la fonction T{x)