LIVRE SECOND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS
démontrée (289j et (303). On a, comme on sait, lorsque l'entier k n'est pas un multiple de n,
COS2/1 •îT^r 4- COS2/1 ~ {x-\ ) + ■ • + cosa/r;: ( x H ) ^= o,
sin ikr.x -t- sin o-k- [ x -\ — )-(-•••-(- sin 2/r- ( x H
\ nj \ n
Si l'on suppose k = [xn, tous les termes deviennent égaux, et l'on a
C0S2/r7r.r -4- cos2/r7: lx-{ — j + • • • 4- cossAttI x -+- ) ^= " cos-ik-x,
sin T.hr.x + sin 2/1-71 ix-^ — 1 4- • • • + sin 2/1-7: ( x -\ j = n sin 7.hr.x .
Cela posé, en remplaçant dans l'équation (49) x par œ, .t-\- --. x + ~i-- -, xet ajoutant les résultats, on trouve
lYix)^ lv[x+~ \ n
1 , I (cosinv.x cosinr.x cos&iir.x :^ n Iit: -h - n \ 1 ;;
2 n \ n 2» in
n,^ , , /sin2w.7ïa? %\x\Lnv:x sin6n.7ra;
(In . lin . , \
— s\mm:x -\ sminr^x 4- • • • j n -y.n
n (In
qui s'applique lorsque x est compris entre zéro et - afin que x,x+ -•.•■■■,
a? 4 soient tous compris entre zéro et l'unité.
Si de l'équation (5oj on retranche lY(nx) développé au moyen de la série (49).
on a
lY{x) + lvix+~\ H ^/r(;r4-"^) —lY{nx)
= - («. — i) /27r 4 f sin2rt7rx -\ — sini"--?:^ 4- • • • U
c'est-à-dire ^551 ^
T{nx)
-in — I ) /27: 4- - ( I — 9.nx)ln, 2 2
et
n — I I— An.r
■{ir.) ^ Il ' T{nx]
Digression sur les Jonctions nommées Y^.
560. La fonction qui représente l'unité divisée par la distance de deux points joue un grand rôle dans un grand nombre de problèmes de Mécanique. Elle contient évidemment les coordonnées de ces points et peut s'exprimer par exemple au moyen de leurs coordonnées polaires p, 6, à, p', ô', fb'. La distance r de deux points ainsi définis est donnée par la formule
f ' = p' + p'2 — a pp' ces V,
V étant l'angle des deux rayons vecteurs. On a d'ailleurs
cosV = COS0 cosô' 4- sinQ sinô' ros(4' —■^'). et par conséquent
jp'^ — 2pp' [cosô CCS 9' 4- sin9 sinQ' cos(4' — 4'''] + P'' Prenons pour unité la plus grande o' des distances p et p', on aura
[i — ap [cos9 cos6' -i- sinO sin f/ cos{<\i ~ <\>')] -+- p'
Cette expression peut se développer au moyen de la série étudiée (I, 354). et l'on aura
P„ étant ce que devient X„ quand on y fait
.r =: co.s9 cosO' + sinS sinS' cos(>!/ — ij;').
561. Le coefficient P„ est une fonction entière et de degré n de cosQ, cosS', sin5, sin5' et cos(({> — ij^'). Considéré comme fonction de Q et de ^ seulement, il satisfait à une équation différentielle que nous allons former.
En nommant x, y, z, x' , r', z! les coordonnées rectilignes des deux points cou-
