LIVRE SECOND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS
Sii
sidérés, on ii
On en flédnit aisément
et en posant
dx' dy' dz'
x=: p sin 0 cos4', r :^- p sin 0 sin li,
Z ----: p COSÔ,
cette équation devient (.1, 182)
/rf»' d'~
p^siïï^ (f^ dp' p ~dp
En multipliant cette équation par o"^ et remplaçant - par son développement (5i),
l'équation obtenue ayant lieu quel que soit o exigera que le coefficient de chaque puissance de p soit nul. On aura ainsi
dïï' + '^"'^ M-^^Q -d^^ + „f« H- .) P„ = o,
que l'on peut transformer, en posant cos5 = p., eu
'^'du.\ d^^'
-7 '- -^ H - + M rt + I ) P„ :
La fonction P„, qui satisfait à cette équation, est parfaitement définie et ne conserve rien d'arbitraire, mais elle n'en est pas la seule solution qui soit une fonction rationnelle et entière de degré n de cosô, sin5 cosij^ et sinô sint]^. La solution la plus générale de cette forme, et dont P„ n'est qu'un cas très-particulier, a été nommée par Laplace la fonction Y„.
Commençons par prouver qu'une telle fonction existe en en donnant la forme générale.
Si l'on pose en effet
{jz^ix + ar-t- (3z >", en supposant
342 DEUXIÈME PARTIE. - CALCUL INTfiGRAL.
on aura évidemment
d'I] d'V d'\] dx' dy"^ dz' '
et si l'on pose
a; = pcos6, j = psinô cos4', 2 = psinô sinij/,
la fonction transformée sera le produit p" par une solution de l'équation (53), et la somme de 2n+ i termes pareils multipliés par des constantes réelles ou imaginaires satisfera à la même équation et pourra être prise pour expression générale de Y„.
562. Les fonctions Y„ jouissent de deux propriétés importantes dont se déduit la possibilité d'un développement en série souvent employé par les géomètres et qui doit trouver place dans ce chapitre.
Y„, d'après sa définition, est une fonction homogène et de degré n des trois quantités cos9, sinô cosi|>, sin6 sini|^, et le produit fXn satisfera à l'équation (Sa),
dont le premier membre en effet, quand on y substitue ce produit à -» devient le
produit de p"~^ par le premier membre de l'équation qui définit Y„. Si donc on pose
la fonction V, exprimée en a?, y, z, satisfera à l'équation
rf'V rf'V d'\
Appliquons le théorème de Green (503) à cette fonction V et à la fonction -1
qui représente l'inverse de la distance du point dont les coordonnées sont x, y, z, à un point A situé dans l'intérieur d'une sphère de rayon R, nous aurons
rf'-' d^l d^l et, en ayant égard aux équations (55) et (56).
L'intégrale qui figure au premier membre étant prise pour tous les éléments d(j de la surface de la sphère de rayon R et V» désignant la valeur de la fonction Y au
LIVRE SECOND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS, point A, on a, d'après la valeur de V,
On a donc
uy.=fyd\lL-
dn
Mais, en développant - en série, la formule (5i) donne, en désignant par a la distance du point A au centre,
D'ailleurs .- est la dérivée de - lorsque 0 et |, qui figurent seuls dans P„, restent constants, et l'on a pour les points de la surface sphérique
dr
dn
L'équation (58) devient donc, en remplaçant V par sa valeur o"y„ et de par
dn 1
47ra»Y;,= R"['rY„R=sin9c?9c?4;( ^ ' -
et, en égalant les coefficients des mêmes puissances de a dans les deux membres,
(59) 47rY;, = (2« + i)^rY„P„sin9</0rf(|;,
(60) o = r Ty,, P,,' sin 9 rfÔ </(j/,
Y', étant ce que devient la fonction Y„ quand on y remplace ô et 4» pai' les coordonnées 5' et <Jv' du point A qui figurent avec 5 et d; dans l'expression dé P„, et les intégrations s'étendent à toute la surface de la sphère, c'est-à-dire aux valeurs de ô comprises entre o cl tî et à celles de ^ entre o et i-r.
Développement d' une fonction de deux 'variables.
563. Toute fonction de deux variables 0 et 4' peut être représentée par une série de la forme
Y„ désignant une fonction homogène de cosô, cos6 cosij; et sinôsintj;, qui satisfait à la condition énoncée plus haut.
La série est toujours convergente et le développement s'applique aux valeurs de 5 et de (]; représentant toutes les directions.
On a donné de ce théorème un grand nombre de démonstrations; la suivante, due à M. Darboux, nous paraît de beaucoup la plus simple. Commençons, comme nous l'avons fait (545j, par admettre la possibilité du développement, et après avoir cherché l'expression du terme général Y„, nous prouverons que la somme de la série représente bien (j)(5, 4'j-
Multiplions les deux membres de (6ij par P„ sinS JS <^i|/ et intégrons entre les limites zéro et n pour S, zéro et in pour <\. P„ désignant ce que devient la fonction X„ quand on y remplace x par
cos6 cosô'+ sinô sinô' cos( J; — (j;'). nous aurons, d'après les équations (Sq) et (6o),
et cette formule fait connaître Y^ , c'est-à-dire ce que devient Y„ quand on y remplace 5 par B' et 4* par ij/'; on aura par conséquent Y„ en changeant dans le premier résultat S et di en 5' et <\i', et réciproquement. La série (61) devient ainsi
^ 4^ Jo ^'o
Nous allons déterminer la somme des 71 premiers termes et montrer que, n croissant indéfiniment, la limite de cette somme est en eU'et <pf5, (J^;-
Les variables S et ^ peuvent être considérées comme des coordonnées polaires déterminant la position d'un point sur une sphère de rayon unité, ô désignant la distance à un pôle fixe et ij> l'angle formé par le rayon vecteur ô avec un arc de cercle fixe passant par le pôle et pris pour origine.
