LIVRE SECOND. — APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS. ÎUS

Changeons de coordonnées et prenons pour pôle le point de la sphère dont les coordonnées sont 5 et (]>. Soient !/, et i\i, les coordonnées nouvelles qui remplacent 0 et i]/. On a évidemment

cos6cos(5'+ sinG sinO'cosf'i — ^')-~ cosô,.

De plus, l'élément de surface sphériquesinS'rfô'rftj;' sera remplacé par sin5,c?ô,</t);,, et l'on aura

(63) f' f "p„sinO'o{e',y)dO'd^\>'^ T" f'' P„{cosO,)o{e„ ']i,)sm0,d9,d']>„

P„(cosô,) étant ce que devient X„ quand on y remplacer; par cos5,. En effectuant l'intégration par rapport à vj;, et posant

f "9(Ô,,.i/,)rf4/, = 9.-F(cos0,).

en sorte que FfcosS, ) puisse être considéré comme la valeur moyenne de (p(5,, tj;,) sur le cercle situé à la distance 5, du pôle, l'expression (63) devient

'.- r''p„(cosf5,)F(cose,)sinO, r/0,,

Jn

et, en posant cosû, = x.

277 / X„F(.r)rt^.*-.

La série Ga; est par conséquent réduite à

c'est-à-dire I, 358 i

I r+' . . , (dx„ ^

ûfX„ , d\„+ dx

et c'est cette oxpression^dont il faut chercher la limite lorsque n croît indéfiniment. On a, en intégrant par parties,

^ |'F(^)f/.r('^^ + ^^\=r.iF(.r)(X„ + X„+,)-^ |'f'(^) t/.r (X„+ X„^,)-

Aux deux limites x =^ — \ et a; — + [, X„ et X„+, deviennent respectivement

(— i)"(-f i)" et f- 1)"+' (+ i)"-^*, le terme intégré