I. Cnir. hit

donne donc entre les deux limites

Quant à l'intégrale

elle tend évidemment vers zéro, puisque, lorsque n augmente, X„ tend vers zéro pour toute valeur de .r (522). La limite de (64) est donc enfin F(i), c'est-à-dire

"^ Jo

pour cos5, — I, c'est-à-dire 0, =o; mais, pour 6, = o, la fonction ?(9,, i|/,) est indépendante de i\i et devient précisément la valeur de ç(5', (]/') correspondante à la nouvelle origine, dont les coordonnées primitives sont Q et ij>. L'intégrale

se réduit donc à cette valeur de ç(9, <\i), qui représente par conséquent la somme de la série.

Développement d' une Jonction d'une seule variable.

564. Pour appliquer les formules précédentes au développement d'une fonction d'une seule variable, il faut supposer que la fonction <f{Q, 4') devienne indépendante de ^ et ne contienne que la seule variable 9. Désignons-la par (p(cos6), on aura "

(65) cp (0080)=: Y. -f- Y, + ¥,-+-... -)-¥„ + ....

Les fonctions ¥„, Y,,..., Y,,,..., dans ce cas, dépendent de la seule variable 5; on a en effet (563)

Y„ = ^^^:^ r f''''(f{cos6')sin9'd6'd^'P,„

P„ désignant une fonction de la somme

CCS 6 ces 6' + sinôsinô' cos(4' — 4'')- Or l'intégration par rapport à <|>' donnera un résultat indépendant de ^', parce que