Y„ = VX

On trouvera

et, d'après l'équation à laquelle satisfait X„,

c'est-à-dire

d^ dXn

dx dx IX

dx

l -j- = — il\„ — /(i — x'-),

d\ dx

X'(i-xY'

^ = '^'-/xîfl-^,

et la solution de Téquation (66) étant VX„, la seule solution entière et rationnelle en a? est évidemment C'X„, en sorte que le développement (65 j devient, en posant cos6 = x,

dont la possibilité se trouve ainsi démontrée.

Pour calculer le coefficient A„, multiplions les deux membres de (67) pai'X„r/a7 et intégrons entre les limites x = — i , a? = + i .

Nous avons (529)

On déduit d'ailleurs aisément de la formule (60), en y supposant Y„ = P„, 6' — o,

(69) / \'„dx= — -,

et par conséquent

A„ = j 'S.„(i>(x)dx.

565. Le développement qui nous occupe jouit d'une propriété remarquable.

Dans la série qui représente (p{oc), un nombre quelconque n de termes, pi'-is à partir du premier, forme un polynôme Z qui, parmi tous ceux de même degré, donne à l'intégrale

(70) U= / ['^{x)-Z]'dx

une valeur minima.

Pour le démontrer, cherchons directement à déterminer Z par la condition de rendre l'intégrale (70) minima. 11 faut que la dérivée de U par rapport à chacune des constantes qui entrent dans Z soit égale à zéro, ou, ce qui revient au même, en nommant c?Z la différentielle de Z prise par rapport à ces seules constantes, on doit avoir

(■ji) / [<a{x)---'l]dZdx — o.

Or, quelle que soit la fonction Z, ou peut la mettre sous la forme

A„, A,,..., A„ étant des constantes convenablement choisies, on a alors

âZ = ôA, -+- X| oA, t"- . . . + X„ oA,„

et comme <?Ao, ô'A,,..., c?A„ sont arbitraires, l'équation (71; exige que l'on ait, pour toute valeur de p non supérieure à n,

et en remplaçant Z par sa valeur et appliquant la propriété exprimée par Us équations (68) et (69), on en déduit

/ G i\r ) X„ dx -^ A„,

et l'expression de Z coïncide par conséquent avec les n premiers termes du développement.

Cet élégant théorème a été énoncé pour la première fois par M. Plarr.