INTÉGRABILITÉ DES FONCTIONS DIFFÉRENTIELLES

Intégration des différentielles qui contiennent plusieurs 'variables

indépendantes.

566. La diiférentielle d'une fonction de deux variables x et y est de la forme

(i) MJar-hNJj,

M et N désignant des fonctions de x et de j. Intégrer l'expression (i) c'est former la fonction dont elle est la différentielle; le problème se ramène aisément, quand il est possible, à l'intégration des fonctions d'une seule variable, mais il ne l'est pas toujours, et il existe une condition d'intégrabilité que la métbode même d'intégration va nous faire connaître.

La différentielle

Mrf.r-1- N</j

étant donnée, la fonction primitive F, si elle existe, doit avoir pour dérivée par rapport à a; le coefficient M de dx. Posons donc

on en déduit

(3) ^= / ^^""-^ l-ir).

x„ étant une constante arbitraire et ^{y) une fonction de la seule variable y qui doit être déterminée de telle sorte que l'on ait en outre

Cette équation 4j devient, en ayant égard à (3j,

(5) ^=.f"^^dx-^^'{r)^