LIVRE SECOND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS
SSI
c'est-à-dire
^'(y.)=:îi-£^^da:.
et la condition nécessaire et suffisante pour qu'on puisse en déduire ^(y) est évidemment que le second membre de (6) ne dépende que de la seule variable j, c'est-à-dire que sa dérivée par rapport à x soit égale à zéro; on obtient ainsi pour
la condition d'intégrabilité
dx dy
En la supposant satisfaite, l'équation (6) devient
'8) j.'(r) = N-J^^^rf.,
ou, en désignant par N^ ce que devient N quand on y fait x=^x„,
d'où l'on déduit
4^(j)=r r N. rfj+C
et
Cette équation (loj donne la solution du problème et F est l'intégrale de Mdx-\- Ndy lorsqu'on suppose toutefois la condition d'intégrabilité satisfaite.
567. La méthode précédente s'étend aisément aux différentielles qui contiennent un nombre quelconque de variables indépendantes. Soit à intégrer
l'équation
équivaut à
Mdx-hUidx-hPdz,
d¥ = Mdx -H Nrfr + fdz
dj yf die
dx ' dy
dj
De la première de.s équations fi3) on déduit
Mdx H- cp(r, -z ■,
et cette expression de F, dans laquelle o{y, z) est une fonction entièrement arbitraire de j et de z, comprend toutes les fonctions dont la dérivée par rapport à x
est égale à M.
Il faut, si cela est possible, déterminer y de manière à satisfaire aux deux dernières équations (i3), et l'on doit avoir
dM. , do -7-d.v -+- -^' , P ay dy
rfM , d(o
j— dx + -j^' dz dz
c'est-à-dire
r~^ X '^r ' dz -*^ ./ dz "''■
La condition nécessaire et suffisante pour que ces équations soient compatibles est que les seconds membres étant des fonctions de j et de z seulement, satisfassent à la condition trouvée (566). c'est-à-dire que la dérivée du premier par rapport à z soit égale à celle du second par rapport à x. Pour que les seconds membres dépendent de r et de z seulement, il faut que leurs dérivées par rapport à x soient égales à zéro, et l'on trouve ainsi
dx dy
^ rf M
dx dz
En remarquant que ^-^ = ^77^.' 'a troisième condition se réduit à
r/N r/P dz ^ dy'
et les équations fiGj, (17), (18) expriment les conditions nécessaires et suffisantes pour que l'expression fiij soil intégrable. En les supposant satisfaites, on a
