Si la différentielle donnée était

Xi dx, + X.J dxj + . . . 4- X„ dx,„

la condition d'intégrabilité qui s'obtiendrait exactement de la même manière serait exprimée par l'équation

dXi JX,'

dxji dxi

qui doit être satisfaite pour toutes les valeurs des indices i et i' , et l'intégrale, lorsque cette condition est remplie, est exprimée par la formule

r '\,dx,-h I ''\]dx,-h f 'Xl'dx,-h ■'■■ + f "xr/""V/.r„4-C, J.i'i Jx". i''.,'; Jj-i;

x^,, a?2,..., x" étant des constantes arbitrairement choisies, et XI, Xj",,.., ^0. 0(100 f.Q qyg deviennent les fonctions Xj, X3,..., X„ quand on y remplace a;, par x'I, Xn par x^ 'x„ par x^.

569. Lorsque les coefficients des différentielles arbitraires, au lieu d'être donnés explicitement, sont définis par des écjuations non résolues, les conditions d'intégrabilité prennent une forme remarquable dont nous aurons à faire d'importantes applications.

Soient d'abord deux équations

(ai)

Cherchons la condition pour que les fonctions/^, cl />a que l'on en déduit soient

J. Ctilc. iiil. "J'O

telles, que

p, dq, + p,dq.

soit une différentielle exacte.

On déduit de (ao) et (21), en les différentiant par rapport à y, et à r/,,

dF, dF, dp, , dF, dp, ' dq, dp, dq, dp, dq,

dF, . dF, dp^ dF, dp,

rfçTï c(p, </çj dp, dq,

dF, (IF, dp, dF, dp, dq, dp, dq, dp, dq,

dF,

dF, dp, dF, dp.

dq, dp, dq, dp, dq.

^22) et (24) donnant la valeur de -p, et (23) et (26) celle de '^S et l'on a

dF, dF, dF, dF,

dp.

dq, dp,

dq, dp.

dq, ~ dp.

dF, dF, dp, dp,

dF, dF, dq, dp.

dF, dF,' dp, dp,

dF, dF, dq, dp.

dq, ~~

dF, dF, dp, dp.

dF, dF,' dp, dp.

et la condition d'intégrabilité est par conséquent

dF, dF, d F, ([F, dF, dF, dF, f/F, ^ dp, dq, dq, dp, dp, dq, dq, dp, "~

570. Considérons le cas plus général où les fonctions/?,, p., ...,/?„ sont définies par n équations qui les lient aux variables indépendantes q, , q.,y. .., y„. Soient

<?(?!, q»- ■ , q,„ p„ Pn- 4-(ç,, q,,. .., q,„ p„ p„-

deux de ces équations.

La condition d'intégrabilité exige que l'on ait, quelles que soient d'ailleurs les n — 2 équations adjointes à (27 j et (28),

d(f d<\i d(f </<!' ^^? '^^ ^9 ^^^ dp, dq, dq, dp, dp, dq, dq, dp.

dp,, dq„ dq,, dp,, ~

En désignant en effet par i et k deux des indices i, 2, 3,..., n, on trouve, en d

iffé-