LIVRE SECOND. — APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS

rentiant l'équation (27) par rapport à y,- et l'équalion (28) par rapport à y*.

;3ii

rtfcp dqk

V £^ ^ ^ o Z^ dpk dqi '

Zd dpi dqk

En multipliant l'équation (3o) par -j^ et (3i) par -^t et faisant la sommé des résultats obtenus, en donnant à i dans le premier produit et à A dans le second les valeurs successives i , 2, 3,..., «, nous aurons

^ ■^ d']i dcf dpi, Zu Zj dpi dpk dq,

I zr r /" .r: r

V^ y É?tp d<\i dpi 2u 2u (Ipk dp, dqk

Zj dpi dqi '

^ d<f d'\i Zà dpk dqk "

En retranchant ces équations l'une de l'autre et ayant égard aux conditions d'intégrabilité connues (568)

dpj __ dfn

dqk~ dqi' il reste

V' rfcp d'if ddf d<i^

^a dpk dqk dqk dpk ~' '

ce qui est précisément l'équation (29).

Lorsque n équations sont données entre les fonctions /), , Pi,... ,p„ et les variables q,, q2,.-.,q„, l'application du résultat précédent à ces équations considérées deux à deux fournira des conditions en nombre égal à celui des conditions d'intégrabililé et qui peuvent les remplacer.

571 . Dans les questions que nous venons de résoudre, les variables qui figurent dans la différentielle donnée sont supposées indépendantes. Dans un grand nombre de cas, on est conduit à considérer une expression de la forme

Xdx-hY dx+Z dz,

dans laquelle r et z sont des fonctions de x. L'expression peut être mise sous la forme f{x)dx; elle est toujours intégrablc, mais à la condition que j et ^ soient effectivement donnés en fonctions de x. Si l'on se borne à dire qu'ils en dépendent

oSfi DEUXIÈME PARTIE. - CALC.UI- INTÉGRAL.

sans dire suivant quelle loi, l'intégration ne peut s'efl'ectuer que si les conditions

d'intégrabilité trouvées (567) sont satisfaites.

572. On peut généraliser le problème et cliercher la condition pour qu'une expression de la forme

dans laquelle y désigne une fonction de x et r' la dérivée de y, soit intégrable sans qu'il soit nécessaire de particulariser la fonction y. Soit F (a?, y) l'intégrale, on a

t/F (/F A , dx.

Pour que cette différentielle soit égale à (35), indépendamment de toute hypothèse sur la forme de y, il faut que la fonction <p soit du premier degré en y'. En la représentant par

M + N.>-', on doit avoir

.. (IF -, (IF ax ay

et par conséquent F est l'intégrale deMJa? + Nrfj qui doit satisfaire à la condition d'intégrabilité trouvée (566)

dy dx 573. Considérons l'expression plus générale

(36) F[x,y,y',y",...yW]dx,

dans laquelle y' , y" j'"' sont les dérivées successives de la fonction indéterminée y; cherchons la condition pour qu'elle puisse s'intégrer sans particulariser j. Soit

iF[x, y, y', y", ..., y'"'] dx = •]> [x, y, y', .. ., J^'-'>J -h C. On en déduit, en désignant par « et A deux limites quelconques,

(37) f F[x, .r,7',. . ., j(")]fi?^ = ^[^ j6, j;,. .., j;;'-"j - 4.[rt, ;'■„,/„■■• -, rir"\'

Ya, yt, y'„ , y',,.. . . étant les valeurs de y, y', . . . quand on attribue à oc la valeur a ou la valeur b.