LIVRE SECOND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS. SS

Dans le cas où la différentielle est intégrable indépendammenl de toute liypopothèse sur la forme de y, l'intégrale (37) dépend seulement, on le voit, des limites a et è et des valeurs de y et de ses n— i premières dérivées correspondant à ces deux limites. Si donc on change la forme de y sans changer aucune de ces valeurs extrêmes, l'intégrale restera la même. Pour faire ce changement, remplaçons j par y-h«;, a étant une constante intiniment petite et := une fonction arbitraire assujettie à s'annuler ainsi que les n — i premières dérivées pour les valent s a et b de la variable r. D'après ce qu'on vient de dire, on aura alors

(38] / F[x,r+(xz,y'-hxz',...,j<"^+xz^''^dx=:l F[x, y, y', ■ ■ -, r'"']ff'^'y

mais Cf. étant infiniment petit, on a

T[x, y-\- OLZ, y' -\- olz' ,. . .,>•<"' -1- az'"']

dyW

et ré(juation (38) devient par conséquent

(iF

dy

qui doit avoir lieu quelles que soient les fonctions z et y, sous la seule condition que :; devienne nul aux limites ainsi que ses n— 1 premières dérivées.

On a, en intégrant par parties et supprimant les termes qui sont nuls aux limites,

L'équation (39) devient par là

l cl dF^ d^ fJF^ dy dx dy' dx" dy"

yt d¥ dx'

• dF •[

Le facteur placé entre parenthèses étant indépendant de la fonction z, qui, entre les limites a et i, est entièrement arbitraire, l'équation (4o) exige évidemment que l'on ait identiquement

^^'^ dy dx dy^ ^ ' '" dx« dyW ~°-

574. L'équation (40' nécessaire pour que la différentielle ¥ dx soit intégrable, est en même temps suffisante. Cette équation exprime en effet que l'intégnile ne change pas lorsque y reçoit un accroissement infiniment petit quelconque az, qui laisse invariables ses valeurs extrêmes et celles de ses n — i premières dérivées. Or un accroissement fini quelconque de j peut toujours être considéré comme la somme d'une série d'accroissements infiniment petits successifs, et si le changement produit par chacun d'eux est infiniment petit du second ordre, le changement total, égal à la limite de la somme des changements élémentaires, sera évidemment égal à zéro. On peut donc changer arbitrairement y; si l'on n'altère ni ses valeurs extrêmes ni celles de ses dérivées, l'intégrale ne changera pas, et elle ne dépend par conséquent que des deux limites et des valeurs correspondantes de y et de ses dérivées.

On a d'après cela, en prenant pour limites Xo et x.

(42 ) F[x, ,r, x', ..., jW] c?^ = I [x, y, y', ..., r("-'), Xo, y„ .

<if désignant une fonction déterminée des 2w+2 quantités dont elle dépend. En différentiant par rapport à x les deux membres de l'équation (42), on en déduit

et il existe une fonction déterminée ^ dont la dérivée est égale à F indépendamment de toute hypothèse sur la forme de j. Il est clair d'ailleurs que a;,,, y,,,..., j^"""'\ ne figurant pas dans le premier membre de (43), doivent, d'elles-mêmes, disparaître du second.

575. Lorsque la condition d'intégrabilité est satisfaite, on peut exprimer l'intégrale par une formule élégante qui est due à Poisson. Considérons la fonction

Posons

dy~ ' dy'~^"---' dy(")-'^"-