LIVRE SK.COND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS. Dans l'inlégrale

(44) l'¥[x,x,y',...,x(''^(lx, remplaçons y par uy, u étant indépendant de x, nous aurons

/ F[ar, yu, y' u,. . ., >•(") u] dx.

Mais on a identiquement

X" dv r"

-j- du + F, = F.+ j du [N j- + N, j' + . . . + N„ j("i].

Fo désignant ce que devient la fonction F quand on y fait u — o, c'est-à-dire

et ya étant toujours substitué à u dans les fonctions N, N,, N,,.., l'intégrale cherchée devient d'après cela

(45) 1 ¥[x,yu,y'u,...,y<'^u]dx

= / F(ar, o, 0,0,..., o)dx -{- l dx j du['}i y +'N,y'+ . . .-f N,j-("'].

Si l'on change l'ordre des intégrations, le second terme du second membre peut s'écrire

f du Çdx [Nj + N, j' + ... + N„ ji".] ;

mais, en intégrant par parties, on a

J^^ydx^S.y-Jy'^dx,

et, en substituant dans l'équation (45),

I ¥\x,yu,...,y'^"'>u]dx = 1 F{x, o, o, o,. . . , o) dx

dx'

rf'N

dx ^ dx'

dx"

mais le dernier ternie e.st nul en vertu de ré(|uation identique ^4')' T"' subsiste

quand on remplace j par j«, et il reste

I F [x, yu, >•' M, . . . , y<"'' u] ilx

=jV{a.;o,o,o,...)dx+j^ ./«[r(N,-'§' + '^;--)

et pour obtenir l'intégrale cliercliée, il suffit de supposer u=\, ce qui se fera dans le second membre, en remplaçant par l'unité la limite de l'intégrale par rapport à u qui y figure.

576. Les calculs nécessaires pour vérifier l'intégrabilité d'une fonction sont parfois pénibles et ne facilitent en rien l'intégration (|u'il faut faire ensuite. x\ussi trouve-t-on presque toujours avantage à employer une mélbode tbéoriquement moins élégante, mais qui conduit à des calculs plus simples. C'est en intégrant l'expression donnée qu'on s'assure qu'elle est inifgiable, et lorsqu'elle ne l'est pas, on en est presque toujours averti dès le début du calcul, qu'il est inutile de continuer.

Soit à intégrer

(46) ^[x,y;y',...,y("^]dx.

On remarquera d'abord que l'intégrale, si elle existe, étant de la lormo

on doit avoir

Le second membre étant du premier degré par rapport à r'"', il doit en être de même du premier, et, si cette condition n'est pas remplie, il est inutile de tenter l'intégration.

Supposons donc que la fonction F soit de la forme

P et Q étant tous deux indépendants de v'"', on doit avoir

et par conséque"ht

LIVRE SECOND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS. G étant indépendant dey^"'''. Soit

l'intégrale effectuée / Qdy'^"-'\ on devr

iVA avoir

df df , df , ,

dx dy

dy^

dG dx

En supprimant les termes Qr'"' et , („,)/'"' qui se détruisent, on déduit de là

\dx) ~

dx dy •

dy("-

et cette équation ramène la détermination de G à l'intégration d'une fonction différentielle d'ordre n— i seulement. Cette fonction doit évidemment être du premier degré en j<"~''; si cette condition n'est pas remplie, le problème est impossible, et il est inutile de continuer les opérations; si elle l'est, on opère pour

l'expression de -j-' comme on l'a fait pour la fonction F, en ramenant le problème

à l'intégration d'une fonction différentielle d'ordre « — 2, et ainsi de suite.