Considérons, par exemple, l'expression

(49) y + {x-i-'iy)y'-hy'''+2y'xy";

on a d'abord

iy' xdy' = xy'''-\- G,

G ne devant contenir que x et y, et l'équation (48) devient dans ce cas

rfG\

dx ]

= J+ \^x + iy)y' -hy'^-~y'-'=y-V[x^ 27)7'.

Cette expression étant de premier degré en j', il y a lieu de chercher si elle est intégrable; pour cela, intégrons [x -\- 2y) par rapport a y, nous aurons

G = 1 {x + i.y)dy=^ xy + y''+ G,;

G, étant fonction de x seulement, égalant à rfG la différentielle du second membre, on trouve

</Gi =: O,

et l'intégrale de (49) est par conséquent

xy''' + xy -f- y''.

'• Cale. inl.

Soit encore

Le coefficient de y" est ici -— .,■> et son intégrale par rapport à y'

C'est à cette expression qu'il faut ajouter, pour résoudre le problème s'il est possible, une fonction G de x et de y; mais, en posant

on trouve dG = o, et l'intégrale cherchée est

xr' — x