Quoique l'intégrabilité de la fonction

soit exprimée par la seule équation

</F d dF d' d¥ , , d" d¥

,dy dx dy' dx'' dy" " ' ^ ' dx" dyW

le nombre des conditions nécessaires est en réalité beaucoup plus grand et l'équation (5x) peut se décomposer en plusieurs autres, qui sont toutes nécessaires. Supposons, par exemple, ii = 2, l'équation devient

dF d dF d' dF

dy dx dy' dx^ dy"

„■,,-■ r dV . .^ „ d' dF ,• I -,

Si la dérivée T-i; contenait j, -7-7 ^i-^ contiendrait un terme en y" qui, ne pouvant se réduire avec aucun autre, rendrait la condition impossible. Posons donc

F = P + Qy",

P et Q ne contenant que oc, y, y'. Si nous développons les divers termes de (Sa),