livre' SECOND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS

ses

nous aurons

d¥ dP

dy dy

dx dy' ~ dx \dy' "^^" dy' }

rf'P , </'P

dxdy' • dydy' ^

.-fQ^.." '^'Q

rfj' «?.r

dy'dy

d^ dV dx'

dl^dl ^Q.= ±(dQ^dQ dQ \

dy" dx'^^' dx\dx dy ^ dy' -^ P

dx''

■xy

dyda.

dxdy'

rfjrf^' rfj

rfj

vr"

et, comme les fonctions P et Q ne contiennent ni j", ni j", on devra égaler à zént le coefficient de y'", qui se trouve identiquement nul , celui de y"-, celui de y" et le terme indépendant de j".

579. Joachimstahl a fait une étude détaillée et intéressante de cette décomposition de l'équation (5i) dans le cas le plus général.

Il fait voir d'abord que la fonction considérée F étant, comme il est évidemment nécessaire, de la forme

Qj("',

le premier membre de l'équation f5i) ne contient pas la dérivée d'ordre a/i

Que l'on pose, en effet.

dy(") '

dy^—t) \dxj ~ "

dF (dl'\,

d^n " \7ixj ~ "

on aura évidemment

dF dy

(dl„,\ \ dx)

d^ dF

dy''—'" dx dyi'"-''' dx' dy("^'

dF ([^ dF t/' dF d^ <(F

dyin-ii (i^ dyi."--- ~^ dx' dy^"-'^ dx' dy'-"'''

, dF d^dF d^dF^ ... d" dF

" ~ dy dx dy' "*" dx' dy" " ■ ' "^ ( ' > dx-' dyi')'

et 4 = o est par conséquent hi condition d'intégrabilité (5i). Or on a, d'après l'équation (53),

/. = 5^[P-Qr-]-(§)

dQ dQ , dQ

dx dy^ dy^ '" «?/(»-') •^

dP dQ dQ , dQ „

■7iz:r-^r--

dj-c-i) fiy. f{y. . tiy^ dy

dQ , „ dQ , ^

(1-3) '' rliri"—') J

y'"' ne figure donc pas dans /,, et par suite jC-^'' ne figure pas dans /,, ni ji"^^) dans /j,..., ni j'°""" dans /„.

On voit d'ailleurs aisément que 4, 4 /„ sont respectivement de la forme

:= «(n-3) -( è(n-5) yW , //n-5) ^(„+,) | ^(„j) ^

'„•, = «"+ 6" j(") -V- V\ y^"+'^ + 6'; j("+') + . . . + 6"4 jt^"-*) + <",

= a + èji») -(- 6, /(»+') + i, j("+') + . . . + bn-zy'-'"^'^ + 6„jj('"-'' -H t,

où les coefficients désignés par les lettres a et i contiennent j et ses n — i premières dérivées, et les termes t, t', t",... les produits ou les puissances des dérivées d'ordre supérieur an — i.

De l'équation

^ d[P-hQyW] /rfC-,' ""■ dy \ dx ^

qui définit /„, on déduit

b — — b'— — — ^^ '— ^^ "— ' dx dy^ dy' •'

,, db\ db\ db\

dy. (n-î) / '

db'.

dx dy ^ dy' ^ '" dy ("-') ■'

, ,, db'„^3 db'„^3 ,

dx dy

drC'-'i J

Si donc ft,, 62,..., è„2 sont identiquement nuls, comme l'exige la condition /„ = o, il en sera de même de 6',, b\,..., b'„,, comme on s'en assurera en consi-