THÉORÈMES RELATIFS A L'ADDITION DES INTÉGRALES
Remarque relative à la théorie des sinus. 580. Considérons la fonction u définie par l'équation
Jo V • — ^^
équivalente évidemment à
M = arcsina:', x^= sinH.
En adoptant l'équation (i) comme définition de sinu, on peut en déduire aisément la propriété fondamentale qui exprime le sinus de la somme des deux arcs.
Pour exprimer, en eflet, que la somme de deux arcs dont les sinus sont x et y est constante, il faut écrire
dx
dy
on en déduit
(3) dx^\ — x''-\-dy\j\ — a;' = o,
et, en intégrant par parties,
(4) x<^\—y''+\ -==^ dy -^ y \J i — X'' + l ^^ dx = const.
c'est-à-dire, en ayant égard à l'équation (3),
X \J i — y'' -{- y\l i — x'' = const.
Si donc on nomme m et ^' les arcs dont a? et v sont les sinus et a leur somme supposée constante, l'équation
équivaut à
(6) X \J i—x^ -h y<fi^x^=^ consv.,
c'est-à-dire à
(■j) sinwy/i — sin'c + sine y'i — sin'w = consl.
Mais en faisant ^^ = o, l'équation (5) donne u=a, et cette double hypothèse introduite dans l'équation (7) montre que la constante qui forme îl second membre est égale à sina, c'est-à-dire à sin(M -f- v), et l'on a enfin
sin (m + ç») =r sin m y/i — sin'f -1- sinv y' i — sin';/. Étude de l'équation '
581. On peut pressentir, d'après ce qui précède, l'importance attachée par les géomètres à l'intégration de l'équation
,r.^ dx dr
qui conduit à la formule fondamentale de la théorie des fonctions elliptiques, de la même manière absolument que l'intégration de l'équiation (2) peut conduire à la formule fondamentale de la trigonométrie. Fagnano a remarqué que de la relation
on déduit
dx dy
et l'on a ainsi une solution de l'équation
dx dr
VI — x' y/l — y'
Euler fut naturellement conduit à se demander s'il en existe d'autres; la solution évidente x ^ — j se présente tout d'abord; mais la plus générale doit contenir une constante arbitraire, si l'on pose en effet
(lo)
dx
L'équation (gj exprime que la somme Y{x) -\- F(j) est égale à une constante indéterminée qui doit figurer évidemment dans l'équation équivalente qui lie x A y. Après quelques tâtonnements et en essayant de généraliser les solutions connues, Euler a obtenu la relation suivante
x''-\-y' -¥- c'x''y'::^ (^ — 7.xy \J l — &,
qui entraîne, quelle que soit la constante c, la relation (9). La vérification est facile et n'offrirait aujourd'hui aucun intérêt.
Euler, par une devination plus remarquable encore, a trouvé la relation algébrique équivalente à l'équation plus générale
dx
dy
^m -h nx'-\- px' \jin -1- ny^-\- py'
à laquelle on peut ramener, par les transformations indiquées (67), la relation plus composée
dy
)/A -t- Bx -+- Cr'-t- D^^H- Ex> y'A + Bj-t- Cj'+ D/'-l- E/'
Un grand nombre de méthodes ont été proposées depuis pour atteindre le même but, et l'importance du- sujet nous engage à indiquer quelques-unes des plus importantes.
Méthode de Lagrange.
