Pour intégrer l'équation
dx
dy
v'A -f- Bx -+- Cx' -1- Dx' -I- Ex' v'A. 4- B/ -I- C j= -4- Dy' 4- E j'
représentons, pour abréger, les deux radicaux qui y figurent par \/X et sJY , et posons
dx 'Si
L Cale. int.
d'où résulte
En élevant les deux nombres au carré, prenant les dérivées par rapport à f et sup-
primant dans la première équation le facteur commun -7-? et dans la seconde -j-i on trouve
(i4) 2-^ = B-i-2Ca7 + 3D.r'4-4E^»,
(i5) 2-^ = B + 2Cj+3Dj'-i-4Ej\
Posons
•*•■ + .r = Py
x — y=zq,
les équations (i4) et (i5) donneront, par addition et par soustraction,
et, comme
on en conclut
d^p dp dq D , , „ ,
idp Les deux membres étant multipliés par — ^^ cette équation peut s'écrire
et par conséquent
id py
^' -^T)p+Ep'-+-a,
où a est une constante arbitraire. On en déduit
dp
dt
qsjïip-h'Ep'+a.
Substituant à -^ sa valeur \/X — y/Y, et à /> et q x -^ y &\. x — y, on a enfin
(i8) \l\ —^Y=(x — y)^a^ïi{x-^y) + 'E.(x + y)\
qui est l'intégrale cherchée.
* Méthode de M. Darboux.
583. Parmi les nombreuses méthodes proposées pour intégrer l'équalion d'Eu- 1er, équivalente au fond à celle de Lagrange, l'une des plus élégantes est celle de M. Darboux.
Considérons l'équation
(•9) Posons
et par conséquent
dx
dy
dx ~dt
dr ~dt
v'(<-r')(i-/fy).
En élevant chacune de ces équations au carré et prenant la dérivée par rapport à /, on trouvera, comme dans la méthode de Lagrange,
l -^ = — {\^h-')x-^'i]Cx\ [ -^j- = - (j -\- k') y + 9jf'y\
et, par la combinaison de ces équations, (?.3) y-^ —x-^=-2.k'xy(x' — y'').
Mais les équations fao) et (21) donnent
et, en combinant les équations (23) et (24), on a
d'x d'^Y ,, I dx dr\
^ -' dt' df ■^ \ dt dl'j
dx dy I — k'x' r'
•' dt dt
Les intégrales des deux membres s'aperçoivent immédiatement, et l'on trouve en les égalant •
C désignant une constante arbitraire. L'équation (26) peut s'écrire
dx dy
^~di~^'drt
I — /('x'jr'
ou, en remplaçant 777 et -r- par leurs valeurs,
relation algébrique entre x et y équivalente à l'équation (19).
Représentation géométrique de l'intégrale.
