Reprenons l'équation

dx dy

ij{i — x'){i — k'x') \/{\—x'){j — k\Y' Posons « — sinç, y = sin4', nous aurons

rf|:

y/ 1 — x^ dy

\li — y-'

et l'équation devient

V*' — /i"sin-ip ^i — /f'sin'ij'

le signe 4- correspondant au cas où les angles (jj et tj* ont leurs cosinus de même signe et le signe — au cas où les cosinus sont de signes différents. Adoptons la

première hypothèse et supposons les angles <f et ^ aigus; pour intégrer l'équation

d(fi

)/i — k'sia'(f \/i — fr'sin'4'

c'est-à-dire pour obtenir sous forme finie la relation équivalente entre 9 et i\i, considérons un triangle sphérique CAB dont les côtés CA. et CB représentent les angles <p et 4;, supposés l'un et l'autre moindres qu'un quadrant. Nommons p. le troisième côté AB; si ce côté reste constant, ainsi que l'angle opposé C, et si l'on a en outre

sin'C

sm'p

les arcs f et 1^, dont l'un reste indéterminé, seront liés, nous allons le prouver, par l'équation (29). Commençons par chercher quelles conditions sont imposées, par nos hypothèses, aux angles du triangle ABC; nous reconnaîtrons aisément que l'un de ces angles doit être obtus et les deux autres aigus.

Supposons en effet que l'angle C soit aigu, soit PQ l'arc de grand cercle décrit du point C comme pôle entre les côtés de l'angle C; on a, comme on sait, PQ = C,

et par conséquent Pétant moindre que l'unité, sinja doit être plus grand que sinPQ. Donnons-nous la position du sommet A et menons deux arcs de grand cercle AG et AH, le premier perpendiculaire à CQ, le second à CP; tous deux évidemment seront moindres que PQ, qui mesure la plus grande distance des arcs CP et CQ; on devra donc, pour que AB soit plus grand que PQ, s'interdire de placer le sommet B entre les points G et H. S'il est entre C et G, l'angle A sera aigu et l'angle B obtus, et s'il est entre H et G, l'angle A, au contraire, sera obtus et l'angle B aigu. Le triangle aura donc, dans les deux cas, un angle obtus et deux angles aigus.

Supposons, en .second lieu, que l'angle C soit obtus, et soit encore PQ l'arc de grand cercle décrit du sommet C pour pôle entre les côtés de l'angle C. Quelle que soit sur CP la position du sommet A, les arcs qui le joindront aux divers points

de CQ formeront avec AC des angles aigus, car le grand cercle perpendiculaire va

rencontrer PQ en un point I tel, que PI soit égal à un quadrant, et compris par

conséquent entre P et Q. L'angle A est donc nécessairement aigu ; il en est de même de l'angle B, et le triangle a encore un angle obtus et deux angles aigus. Cela posé, supposons que l'angle obtus soit C, et soient A'B' et AB deux posi-

tions infiniment voisinei^u côté u.. La condition A'B' = AB donne (L 554)

A A' cosA = BB'cosB;

mais

kM — dw, BB'=— ^4*,

cosA = v/i — sin'A= y^i — /r'sin'ij/, cosB= y'i — sin^B = ^i — /f' sin»?,

c'est-à-dire

d(f y/i — /f'sin'4' ^~ ''^4' v^i — /'"' sin'cp =o,

v/i — /r'sin^e? \/i — /fsin»4^

C'est précisément l'équation (29).

On en conclut

/r'sin'4'

consl.

La constante est évidemment ce que devient l'une des deux intégrales lorsque

l'autre est égale à zéro. Mais pour <p = o, on a ^{> = p.; par conséquent

r^ do r^ d^ __ ç''- d<f

X \/i — k'sin'ff X v'" — ^'sin'"^ X v'» — /f' sin'(j

les trois limites y, <|*, fjt, étant liées par l'équation

cosfjt =-■ coso) cos^' -+- sincf sin'| cosC, et comme l'angle C est obtus, on a

cosC = — v'i — sin'C = — v'i — /f' sin^ {/. , et par conséquent

(Sa) cosf/. = COS9 cos'li — sino sin^J; y/i — /'' sin'p.,

et cette relation entre (p, '^ et \j. équivaut à l'équation (3i).

Autre interprétation géométrique.

585. Jacobi a substitué au triangle sphérique proposé par Lagrange une construction non moins simple qui n'est pas sujette aux mêmes restrictions

Considérons deux cercles dont les centres sont C et C,, et dont le premier, de

rayon R, contient l'autre dont le rayon est r. Soient AA' le diamètre commun et PP, une corde du cercle C tangente au cercle C, ; posons