AC
■\/Bx + Cx-'
dx
{x + 6) y/A -t- B,r + Cr'
peut évidemment se ramener a la précédente, il suffit de poser
x + 9=x- Si l'on fait
A' = A — B9 + Ce\
B'=:B-2CÔ,
on aura
r dx I /yA' + y/A + Bjc 4-Ca;' B'
j {x + e) v/Â+ Bar -+- tî^' ^ ^A' "^^ V ^ + 9 2 y/ A'
r dx I . B'(x + 5) +2A'
I = - arc sin — ^ =i=== »
J(ar + e) y/A + Bay + Ca-' y/— A' (^ + 9) y/B" — 4AC
et lorsque A' est égal à zéro
r dx -2s/A + Bx -\-Cx''
j{x-h6)^A + Bx-hi:x' ~ B'{x + e]
On a par exemple
f dx I I -f ôx I , i + 9x I = -^= arc ces -,,- = = sect. hyp. ces ^^
/• </ar I .14-9^: I .. i -h9x
i == = - arc sin — ~ sect. hyp. ces — —7- )
J{x + B)s/i — x' slB- — i ^ + & y/l— &^ •^ + &
et lorsque 6 est égal à l'unité, les formules deviennent
/dx /■^ — ' [x 4- i) y/*^-V. "" V *■ ^- ' ' /' dx /i — X ^
On trouvera aussi en faisant 0 = — i,
J ix — i)\/x' — i \ X—î
51. Les différentielles rendues irrationnelles par la présence d'une expression de la forme \/-7- — r, rentrent dans la classe précédente. On a, en effet,
On peut d'ailleurs les rendre directement rationnelles en posant
■/ nx -+- b
(tX -\-
2{ab' ■
ba' ) z dz
ce qui rend évidemment la différentielle rationnelle.
La même méthode s'applique à toute différentielle rendue irrationnelle par la
présence d'une expression de la forme y 4~ — r/' en posant
'• / ax -^ b
\a'l^^b'-^'' on en déduit
ax -+- h
Kl = ^^
, n (ab' — ba' ) 2"-' dz
Simplification de la méthode précédente.
52. Les transformations que l'on peut faire subir a une même différentielle pour la rendre intégrable sont extrêmement variées, et la réduction à une formule rationnelle n'est pas toujours la méthode la plus simple.
Considérons par exemple l'intégrale
.1 X sj \ — x^
Jxsji Posons
X = sintp,
dx ^ 008 9^9, \j i — X- ^ COS9;
on aura
J X \ji—x' ~J sîn9 ~ / 2C0S
J tant
log lang - 9.
COS-'tO) " "2
lang { 9 53. Soit encore la différentielle
dx
Posons
(a + bx) \J i ->t- x^
dx = — df — 1
dx dr
(a-hbx) sftTx' ~ b-h-xay— 6j' '
et par conséquent
r dx r "(r L ; ^ ~ 6j + \Ja' + 6'
j {a + bx) ^Ji+x-" ~~ ^ J ^ + 2«/ — h" ~ sJaT+T^ a—~by — v'«M^é'
La différentielle
dx
{a-{-bx) y/i— :c' devient rationnelle par une transformation analogue; en posant
on a
dx
{a->r bx) sji
Si a = 6, on a
dy I . y/a + 6 -\-y \^b — a
{a-^-b) + [a—b)y'' ^b' ~ a' sja+ b — y s/b — a,
/" dx Il — X
J[\-\- x)sjl^^'~ V'+-'^
