Considérons enfin la différentielle

dx

Posons pour 1'

intégrer

elle deviendra

x-'z=y, I dy

En posant

^r-y^yu.

l'intégrale dev

iendra

du -I

=: — arc 1

Ji-f-r^ + H' V'i + r' v'' + '"'

et l'on a par conséquent

r dx I Ji — x- I ^ xv'i + /"'

j y = Y—:-^ arc tang -^-p..^- = -7=^ arc tang —-. ^- •

J (\-ir r'x'')^\ — x' Vr+r- xsji + r- \li-\-r'' sj\—x-

Différentielles binâmes,.

55. On donne le nom de différentielles binômes aux différentielles de la forme

x"' dx{a-^- bx")i',

m, n, p désignant des nombres quelconques positifs ou négatifs dont nous supposerons que l'un au moins ne soit pas entier, car sans cela l'expression serait rationnelle.

La différentielle binôme peut s'intégrer dans deux cas que nous allons faire connaître.

Posons d'abord

on en déduit

a -+■ bx" = z ;

dx :

nb \ b

et par conséquent

[a -t- bx"]!' -" ( -

, , ; Z — U\ « dz

x" dx ( a -t- bx"]!' -" ( — ï — I " h^''

m DEUXIÈME PARTIE. - CALCUL INTÉGRAL.

Si donc 5 ou, ce qui revient au même, si est un nombre entier

positif ou négatif, l'expression ne contiendra plus d'autre irrationnelle que z'' et pourra être rendue rationnelle comme il a été dit (43). Si l'on a p = -, \\ suffira de poser z = j'^.

56. Le second cas d'intégrabilité se déduit du premier; on a, en effet,

X'" dx{a-\- bx")'' = x"'+"i'[ax-" -\-b)p dx.

En appliquant à cette seconde forme ce qui a été dit de la première, on voit qu'elle sera intégrable si — — "^ — ^ est entier, c'est-à-dire si la somme

est un nombre entier; on devra poser dans ce cas

ax^" -^ b ^zz z.

57. Lorsque l'une des conditions d'intégrabilité est satisfaite, il est presque toujours plus élégant d'intégrer la différentielle binôme sans changer de variable, et à l'aide des formules de réduction démontrées (26), qui s'appliquent quels que soient les exposants m, n, p, entiers ou fractionnaires, positifs ou négatifs.

En posant a+ bx" = s, on a trouvé

(i) x"'-' zP dx = -, rT y I x'"'"-' z'' dx.

J [m + np) D m + np 0 J

Si — est un nombre entier et que n soit positif, l'application répétée de cette formule ramènera l'exposant m—i à la valeur n—t, et l'intégration sera alors

immédiate, car on a

la-+- bx"]i'+'

X"-' dxfa + bx")i' 3=

nb{p + i}

Lorsque m est de signe contraire à n, on fera usage de la formule

/' x*" zi''^^ b / *

a?" ' zt dx =z Im-h n + np) — | x"'+"- ' zp dx, ma ^' ma J

dont l'application répétée ramènera l'exposant m— i à n— i, en supposant toujours, bien entendu, que — soit un nombre entier.

Il faut, observer toutefois que les formules (i) et (2) deviennent illusoires, la

première lorsque m -h np = o, et la seconde lorsque m=: o, et il faut par conséquent que ces conditions ne soient remplies pour aucune des intégrales successives auxquelles conduit l'application de la formule. Si par exemple on avait l'intégrale

bx',

l'application répétée de la formule (2) ramènera successivement l'exposant de x qui est — 10 aux valeurs — 7, —4 et — 1; mais arrivé là il sera impossible de passer à l'exposant + 2, car la formule (2) ne s'applique pas au cas où m = 0; et pour intégrer la différentielle

dx y/a + bx^

il faudra la rendre rationnelle.