I. Cfilc. in!. n
tre précédent, équivaut à des formules analogues relatives aux trois fonctions qui nous occupent, et qui jouent dans leur théorie un rôle non moins important. Soient © et ij> deux angles quelconques. Posons
( i}/ = am V, et .
(6) [j.=:am{u-\- v), c'est-à-dire, supposons que l'on ait
(7) r ^y +r^ ^9 __(' dj
Jo v^i — /('sin^9 Jo v^i — /f'sin^tp Jo v'' ~ ^''^sin'ep
Si l'on suppose que (jl, et par conséquent la somme u -\- v soit constante, on aura, en différentiant,
d'où résulte (584)
(g) cosf/. = coscp 0,05'^ — sincp sintl; v'' "~ /f'sin'p.;
le triangle sphérique dont les côtés sont y, ^ et y. donne de même
I COS9 = cos|:/.cos4' H- sinp. sinij; y/i — A^sin'çp,
cosij/ = cos/xcosç ■+- sinfisinep \/i — /c^sin'ij; >
et d'après les équations (5) (6), ces équations peuvent s'écrire
' COSflm(M + v)z= cosamu cosamv — sinainu sinamc Aam{ie + v), (11) } cosamu = cosani [u -h v) cosamv + sinam{u ■+- v)s\namv Anmu, \ cosam V = cosam{u -+- v) cosamu •+- s'inam [u + v) s'inamu Aamv.
Les deux dernières donnent
cos'amf — cos'amM
sinam(M+ v)
sinamu cosamv Aamv — sin amv cosamu Aamu que l'on peut écrire
{sin' amu — sin'amv) {sinamu cosamv Aamv -h s'mamv cosamu A amu)
sinamlu -\-v]
sin^amu cos^amv A'amv — sin^amc cos' am u A'' am u
le dénominateur est, on s'en assure aisément, identiquement égal au produit
{sin'awM — sin'amv){i — k'sin'amusin'amv),
et l'on a, par conséquent,
s'in am u cos amv Aamv -h sinanivcosamuAamu
(12) sïnam{u + v)=^
I — k^ s'm' am u sin' am V
Cette relation pourrait d'ailleurs se déduire immédiatement de l'intégrale donnée (583).
Les deux dernières équations (11) donnent aussi
s'mamu cosamiiAamv — slnamvcosamvAantu
cosam [u-i- v)=: -. . ^ 7 ;
smamucosamv Aamv — sinamv cos amuAamu
et emnultipliant le numérateur et le dénominateur de cette fraction par la somme des termes dont la différence forme le dénominateur, et supprimant ensuite le facteur sin- amu — s'in^ amv commun aux deux termes, on a
, -, , , cosamucosamv — s'mamuslnamv AamuAann>
{i3) cosam! u+ v)^= -, — -. -, •
I — k'sm'amusm^amv
La première des équations (i i) donne enfin
sio am u sin amvAam{u -+-(/) = cosamu cosamv — cosam{u + v),
et en substituant à cos am[u -h ç) sa valeur fournie par l'équation (i3), on trouve
Aamu Aamv — k''s\namu sin^mc cosama cosamf
(i4) Aam{u
1 — Ar'sin'amw sin'amv
Généralité des formules .
594. Les équations (12), (i3), (i4) sont les formules fondamentales de la théorie des fonctions elliptiques, elles sont démontrées seulement pour des valeurs des variables, qui, d'après la formule de définition, doivent être réelles, et ne pas dépasser certaines limites imposées par la considération du triangle sphérique, dont les côtés sont ç, <^ et [i. Les trois formules néanmoins s'appliquent à tous les cas; mais, pour le démontrer, il est nécessaire d'étendre et de préciser les définitions données au commencement de ce chapitre.
Reprenons l'équation
/o Vi — A-'sin'ç
qui lorsque 9 es( réel et positif, k étant moindre que Tunité, ne présente aucune
ambiguïté. On en conclut
du i I
et, par conséquent, 9 étant égal à amu.
dam u .
du
On en déduit
, . dsinainu dainu .
i5) i = rosrtw u — ; =: cosawz« Ham u,
du du
, ^, dcosamu . dama . .
•s\namu — 3 — = — sxnamu charnu,
du du
A amu d
du du
, dAamu d , ,—-. ,, .
(17) — -, =z -r- ^/i — h' snVamu=z— it^s\namu CQsnmu.
Ces trois formules, considérées comme toujours exactes, seront prises pour équations de définition dans les cas où les définitions précédentes laisseraient subsister un doute sur la valeur précise des radicaux qui y figurent, et elles permetlent de démontrer, pour tous les cas, les équations (12), (i3) et (i4)-
Posons, en effet,
sinamucosamvAamv -hsinamv cosamuAamn '~ I — k'sin'amusiiï'amv
nous trouverons, en représentant le dénominateur par D,
dR cosamuAaniucosamvAamv — H[namv^'ir\am,uA'am.u —k's\nam.vcos'amusinamu
dû ~~ D ''
2 [sinamu cosamv Aamv -j-smamycosamu Aamu)k''s'm^amvs\namucosamuAamu
Cette expression de .- est symétrique par rapport aux lettres u et v. On s'en
assure en la multipliant par D% qui est symétrique, supprimant les ternies dont la symétrie est évidente, et constatant que la somme de ceux qui restent est égale à
— s'inamu s'in am i' { à' am 11 A- ami' ■+■ /i^cos'rt/«H cosV//«f ).
On a, par conséquent,
du dv On en conclut
r/R = -7— du 4- -, - dv = ->- ( dn -h- dv). du r/c du '
7— ne peut être identiquement nul, car -,; le serait aussi, et R ne contiendrait ni u ni i'. La condition nécessaire et suffisante pour que rfR soit nul, est donc
du -+ dv =:0,
c'est-à-dire
consl.
La fonction R et la somme u-\- v sont par conséquent constantes ensemble et variables ensemble, et R est une fonction de u-\-v, mais pour (^ = o, R se réduit à sinawu et l'on a, par conséquent,
R = slnrt/»(a + v).
Les formules (i3) et (i4) se démontreraient de la même manière.
595. On peut en déduire un grand nombre d'autres, dont l'usage est très-fréquent, nous citerons seulement quelques-unes des plus élégantes, qui peuvent d'ailleurs se vérifier immédiatement. On a
sinrtma?* :
2 %\x\aniu cosamu Aamu
CCS am 2 « =
A am2 u =
/f'sin'a/ntf
cos=
atnu
am u A'
am u
- k^ sin
*ainu
£^''amu -
- /f'sin
'ainucos''amu
I — h' sin' amu
2 smam >- cosam i Aam -
(21) smamp + s'mamq :
I — A' sin'rtm ^- — "- sin' «m ^ — *
(22) cos a/n ;?+ CCS «m (/ =
