P + (J P — CI
2 cosam cosam
I — A ' sin'am sin'«/n — — ~
(23) sm amp — sinamfl = >
,. P + Q . P — Q 1 — /l'sin'am sin'a/w
is\nam ~ *- sinam 2 c- à.am Aam
(24) cosam p — cosam (}:= »
I — /f'sin'am ^^ sin'am ^^ ~
(25) Aam p -]- \amq :=
1 — /l'sin'am ~ sm'am
,,. q — P . q + P P — q P -^ Q 2/1'sinam sinam cosam cosam
(16) Aamp — Aamq=
7 • , P + q ■ , P — q I — /l'sin'am sin'am -
596. Revenons aux trois fonctions sinamw, cosamu, Aamu, que nous pouvons maintenant calculer pour toutes les valeurs de la variables. Si l'on pose
r^ dx
Jo ^(i — x'){i — k'x')
k étant moindre que l'unité, en faisant
/•' dx
Jo v/(i — a:»){i — Ar'a?')
on a
sin a/n&) = 1,
et pour les valeurs réelles de u comprises entre o et w, la fonction sinamu définie sans ambiguïté, varie entre zéro et l'unité. Lorsque x augmente et varie de
l'unité à ji les éléments de l'intégrale deviennent imaginaires. En posant
dx
Ji i/(i — a:»)(i-A»x')
on aura
Jo \J{i — x'){i — k'x^)
et, par conséquent,
sinam ( w H- &>' ^/— I ) = r •
On a aussi
cosa/nto = o, A nni Où :
Aam (&) 4- w' \/ — I ) = o
Périodicité des /onctions.
597. Les fonctions smamu, cosamu, Aamu admettent chacune deux périodes, qui sont : pour sinam«, 4w et 2'W\J — i;pour cosamu, 4 w et 20} -h 2'a' \J — i; pour Aamu, aw et ^(ù'\j—i, c'est-à-dire que l'on a, quelle que soit la valeur de M,
sina/n(M +4t'>) = sinamw,
siaam' n + aw' y' — i ) =s\n amu,
cosam{u -+- 4")= cosamu,
cosain (m -f- 20 + 7.0)' \/ — i) = cosamM,
Aaw ( j< + 20) ) = A«m u,
Aam{u +^m' \/—i ) = Aamu.
Les équations (18), (19) et (20) permettent en effet de calculer sina/n2w, cosamzfà, Aam2a, elles donnent
sinamao) = o, cosflm'zw = — I Aamaw = 4-1.
On en conclut, à l'aide des formules (12), (i3) et (i4).
sinam(M -1- 2 6)) = — sin amu, cosam{u -f- 2wi = — cosamu, Aamiu -+- 2(,i) = Aamu,
et les deux premières donnent, en y changeant m en « + 2 w,
s'inam{u -+- 4w] = sin a/nu, cos«m(M -H 4«) = cosaOTM.
On déduira aussi de (i8j, (19) et (20)
s'tnam 2 6) H- 2'.)' y'— 1 j =1 o, cos am ( 2 &) -4- 2 Cl)' v' — i ; = -H 1 ? Aam { 2f,) + 2 6)' y' — I j = — i>
et les formules (12), (r3) et (i4) donnent
1 sin«w( (« 4- 2 6J + 2w' y' — I j = — s'iDaniii. (33) < cosam<u-i- 2.(,>-\- ir,i' \/ — i)=cosamM,
Art»! (« -h 20) + 2m' y' — 1) = — àamu.
L'addition de 2w + 2w'v'— i à la variable change donc le signe de s\namu, et comme il en est de même de l'addition de 2w, 2w'\/ — i ne change rien et est une période de sinawa; 20) + au'y — i en est une de cosamu, et la troisième des équations (33) montre enfin que 2u -{- 2w' \J—i ajouté à la variable change le signe de Aamu, et comme 20J est une période, l'addition de 20/ y'" i changerait également le signe de Aamu, et celle de 4w'V~' rétablit la valeur primitive.
598. Les résultats précédents, il est aisé de le voir, permettent de calculer sans ambiguïté les trois fonctions s'mamu, cosamu, àamu pour toutes les valeurs réelles ou imaginaires de la variable. Le sinusd'amplitudeestdéfini, en effet (596), pour les valeurs réelles de la variable comprises entre zéro et oj. L'équation (21
2smam *- cosam '- àam — '-
sinaw p + sin«/H q -
donne
I — /f'sin'am — sin'a/w
sin tf flî M + sin «m ( — « ) — o,
et la fonction est définie par conséquent pour les valeurs de la variable comprises entre — o) et + o). L'équation (32)
sina/n(?< + 2w) = — sin <•(/?!«
achève enfin de la définir pour toutes les valeurs réelles de u. L'équation (24)
q — p . 1 + P\ P~^K P + <1 asinam sinam Aam ~ Aam
cosam p — cos amq^
1 — /l'sin' am~ sin'aw
donne
cosamu = cosam{ — u),
et la fonction eosamu est définie par conséquent pour les valeurs de u comprises entre — w et + w; l'équation {3i)
COsam(« + 2w ) = — eosamu
achève de la déterminer pour toutes les valeurs réelles de u. L'équation (26) donne enfin
Aamu =+ Artm( — u),
et Aamu étant défini par les valeurs comprises entre o et w, et ayant pour période 2w, se trouve déterminé, ainsi que les deux autres fonctions, pour toutes les valeurs réelles de la variable.
599. Nous avons défini (596) les valeurs de sinawu, lorsque u étant de la forme w 4- z\j — i, z varie de o k w'; cosam (w -+- z\j — i ) et Aa/n {',> -f- z \j — 1) sont également définis sans ambiguïté : sinam(oi + z\J— i) étant, en effet, réel et plus grand que l'unité, cosa/n (w + s V— ' ) ^sl imaginaire de la forme |3 sj— i et |3 varie de o à \]ï— k''; Aa/n(w + z\/ — i) est réel, au contraire,, et varie de \J V ~ k- à ô.
On déduira de ce qui précède ûaamzsj— i, cosa/ws \l— i et Aamz\J— i pour les valeurs des comprises enlrc o et 0/; la formule (12) donne,
sina»i2 \/ — I =sina/n(&)4-2 y^— i — w)
__ cosam(&) 4- z \/ — i ) Aam (o) 4- z \/ — i )
I — A ' sin'am ( u 4- .z \J — i )
COSflW
[on -h z \/ — 1)
Aam [b) + z \J— i)
Sinam (gj 4- z V— I ) étant réel et compris entre i et yi cosaw ('j 4- s y — 0
est imaginaire et de la forme |3 y/ — i; mais Aam{u} -^ z\j — i) est réel, et sina/wzy — \ est par conséquent imaginaire, sans partie réelle. Si l'on fait z = 0/, on a
cosfl/n f M 4- &)' \l— I )
Aam (w 4- M'y/—')
sinamco v — ' = —
et, comme A«m(o) 4- uV— •) est égal a zéro, sina/nw'y'^— i est infini.
Sinamzy— i se déterminera enfin pour toutes les valeurs réelles de z, à l'aide
