Reprenons l'équation

r^ dz

Jo J(l—Z'){l—/('

équivalente, par définition, à

Z = sinam u,

et cherchons, d'après les conventions et la méthode exposées (353), les diverses valeurs de u qui correspondent à une valeur donnée de z correspondant au point M.

Les points critiques de la fonction intégrée sont ici les points A, A', B, B', placés

sur l'axe des X dont les abscisses sont ±1, ±7? et les contours élémentaires

sont, par conséquent, au nombre de quatre; les intégrales correspondantes sont, on le verra en raisonnant comme (354),

et, si l'on nomme J l'intégrale relative à ce chemin OM, on obtiendra, en faisant

précéder ce chemin de l'un des quatre contours élémentaires,

et l'on en conclut que par l'adjonction successive d'un nombre quelconque de ces contours l'intégrale peut prendre l'une quelconque des valeurs exprimées par la formule

anto -(- amo) -f- imw' sj — i -)-'( — i)"+'"J,

ce qui s'accorde parfaitement avec les résultats obtenus précédemment.

Étude des infinis et des zéros de smamu, cosamu, Aamii.

601. On a vu (542) quelle est dans l'étude d'une fonction l'importance des valeurs de la variable qui la rendent nulle ou infinie, et du degré de multiplicité qu'il faut attribuer à chacune d'elles. Nous devons donc chercher les valeurs qui rendent nulles ou infinies les trois fonctions sinamu, cosamu, Aamu. Résolvons en premier lieu l'équation

Soit X ety étant réels, on a

sxnamu = o.

u = x-t- rv^— •»

(35) sinam[x +x\/—j)

sinamxcosamf\/'—i AamytJ — i -(- sinamjv^ — i cosamxAamx

1 — If'sin'ama: sin^amy^—i

Le dénominateur de cette expression est réel (599), ainsi que le premier terme du numérateur; le sec&nd est de la forme By/— i. B étant réel, et l'équation

s'inani{x + x\/ — i) = o

se décompose par conséquent en deux autres

s'mamxcosamy^—i Aamy)/ — i=:o, s\namy\/ — i cos nm x Aamx = o.

Cosamy\J— i et AamyyJ— i ne pouvant pas être nuls (599), on doit avoir

s'mam X = o,

et par conséquent

n étant un nonnbre entier quelconque.

Sina/na; étant nul, cosrtm.i; et bi.amx ne peuvent pas l'être, et la seconde équation se réduit à

sina/njv'— I =: o, par conséquent

m étant entier.

Les solutions cherchées sont donc renfermées dans la formule

« = 2«w -t- 3 7Mm' y/^ I.

Nous les avons obtenues en égalant à zéro le numérateur de (35). Il est aisé de voir qu'en rendant le dénominateur infini, on n'annulerait pas la fraction; %\x\amy\l — i, co?,amy\J — i et Aamy\J— i deviennent, en effet, infinis en même temps et sont des infinis de même ordre; le numérateur de (35) devient'donc infini en même temps que le dénominateur, et leur rapport ne s'annule pas.

Toutes les racines de l'équation

sinrtw M = o

sont des racines simples. On a, en effet,

fisinamu .

j =: cosamu aamu.

et la fonction s\namu ne s'annule jamais en même temps que sa dérivée.

602. En procédant absolument de la même manière, nous trouverons que les racines de l'équation

cos am u z=o

sont données par la formule

et celles de

Art/77 M = o

par la formule

et toutes les racines sont des racines simples.