Résolvons enfin l'équation

(36) sinam« = oo

dont les racines sont évidemment les mêmes que celles des deux autres équations

cosam «< = 00 , A am j< = 00 ; on a (595) , , . o^sinamu cosam u \am u

(37) Sin rtW 2 «=: ; ;

' ï — k'sin'amu

S'inamu, cosamu, Aawjw deviennent infinis en même temps et leurs modules sont de même ordre; toute valeur qui donne sinam«=:oo doit donc, d'après l'équation (37), donner sina/M2«=: o, et il faut chercher les racines de l'équation (36) parmi les valeurs de l'expression

- (anw + 2/nw' y' — i ), et l'on s'assure bien aisément que celles qui sont de la forme

2/y to -f ( 2 g + I ) oj' v* — '

sont les seules qui satisfassent.

Résolution des équations sin amu = sinama, cosamu = cosam oc.

603. On sait quelle est, en Trigonométrie, l'importance des formules qui font connaître les arcs répondant à une ligne trigonométriquc donnée. Le problème analogue ne joue pas, dans la théorie des fonctions elliptiques, un rôle moins considérable.

Considérons d'abord l'équation

(38) sinam H = sin a/n a,

que l'on peut écrire

sinamK — sinama^ o, c'est-à-dire (595)

M — a u-h tx . u -h a

isin am cosam aam

I — /(' sin'am sm'am

Pour que le second membre soit nul, il faut que le numérateur soit nul ou le

dénominateur infini, et les résultats précédemment obtenus donnent très-aisément

{ u — cx = in(ù + T-mo)' y/— i ,

( «< H- a = (4« -+- 2) w -h aww' y/ — i,

et l'on voit que la différence u — a doit être une somme des multiples des périodes ou la somme u-h a égaie à 2w augmenté d'une somme des multiples des périodes.