L'équation (4o) cosamu=cosam(x

est tout aussi facile à résoudre; on a

asinam sinaw Aam àam

cosamu — conamx =

I — /r' sin^«m — sm' am

et l'on en conclut que les solutions de l'équation (4o) sont données par les formules

M — x^^mm -h in{(x) -h (ù' \/ — i),

U -h x^ ^mo) + an[Ki + oi' y — i j ,

et l'on verra d'une manière toute semblable que les solutions de l'équation (42) Aamu:= Aamx

sont

(m — a.=r2mw + 4ww' v^ — i ,

[ u -h x = 2in(,) -h ^nu> \/ — I,

m et « désignant des nombres entiers quelconques.

Expression de sinam [u ~\- a/ y — i ). 605. On a ^

sinam {u-h m' \J — i — u)

sin am {u -h m' \/—i) cosam uAamu — sin awMCOSgmyM + cùV— i) Aam (m-i-m'\/— 1) i — h''s\n''anius\n''am[u + M'sJ—i)

mais le premier membre égal à &\nam(ù' \J — i est infini, et l'on doit avoir par

conséquent

d'où l'on déduit

I =: /f' sin' am{u ■+- wV — 0 sin'amu,

s'mam(u -i-m'i/ — i) = 7 — ^

' Icsmamu

Si l'on fait « = w, le premier membre devient v 1 et s'inamu étant égal à l'unité,

il faut adopter le signe +, qui convient dès lors dans tous les cas; car on peut passer de la valeur m= o à telle autre valeur que l'on voudra choisir, sans que dans l'intervalle la fonction sinaniu devienne nulle ou infinie.

Sur les Jonctions doublement périodiques . '

606. Toute fonction qui admet deux périodes « et jS n'est pas pour cela doublement périodique; elle ne doit prendre cette dénomination que lorsque les périodes sont distinctes.

Deux périodes dont le rapport est imaginaire sont toujours distinctes.

Soient en effet « et j3 deux périodes dont le rapport ^ est imaginaire; suppo-

sons, s'il est possible, qu'on puisse les remplacer par une période unique zs. Les seules périodes que l'on puisse déduire de la période zs sont les multiples de vs et si l'on avait

mm =: a, IITS = [3,

m el n étant entiers, on en conclurait

et, contrairement à notre hypothèse, le rapport ^ serait réel.

Deux périodes dont le rapport est réel peuvent toujours au contraire être remplacées par une seule.

Supposons d'abord en effet que le rapport g des deux périodes soit commensu-

rable et égal au rapport de deux nombres entiers /> et q, on aura

et en nommant vs la valeur commune de ces deux rapports, il suffira qu'une fonc-

lion ait pour période zs pour qu'elle ait aussi pzs, c'est-à-dire a, et qzs, c'est-àdire p.

Supposons enfin que le rapport | soit un nombre incommensurable s; la fonction dont a et /3 sont les périodes a aussi pour période

ma— w[3 = (3(m£ — n),

m et n désignant des nombres entiers quelconques. Or on sait, par la théorie des fractions continues, trouver des nombres entiers tels, que la différence ms. — n soit aussi petite qu'on le voudra. La fonction a donc une période dont le module peut décroître indéfiniment, et par conséquent elle ne change pas quand la variable s'accroît infiniment peu; sa dérivée est par conséquent égale à zéro et elle-même se réduit à une constante.

Représentation géométrique de la double périodicité.

607. Considérons une fonction (f{z) ayant pour périodes a -h b \] —i et a'-\-b' \J — I. Les points pour lesquels, en vertu de cette double périodicité, la fonction reprend la même valeur, sont les sommets d'un réseau de parallélogrammes égaux et juxtaposés qui recouvrent entièrement le plan. Supposons en effet la variable z représentée par le point M; si nous lui ajoutons la période a + h \l— I , la somme z -h a-hb y/— i correspond au point M' obtenu en portant, à partir du point M, une parallèle à l'axe des X égale à a, et par l'extrémité de celle-ci une parallèle à l'axe des Y égale à b, c'est-à-dire (car évidemment cela revient au même) en menant par le point M une droite de longueur y'a'- + h^ faisant avec l'axe des X un angle dont la tangente soit --Cette droite peut d'ailleurs

être portée dans les deux sens opposés et un nombre quelconque de fois. On obtiendra ainsi une rangée de points équidistants et placés en ligne droite, et la fonction, pour les valeurs de la variable qui leur correspondent, aura la même valeur. La seconde période a' + b' v-~ i permettra de former une seconde ligne

analogue à la première et différemment inclinée, et comme pour chaque point de chacune des deux rangées on peut répéter ce qu'on a dit du point M, on obtiendra deux séries de parallèles équidistantes décomposant le plan en parallélogrammes pour tous les sommets desquels la fonction aura la même valeur.

Le point M qui sert d'origine au réseau a été pris arbitrairement, en sorte que les côtés des parallélogrammes étant déterminés en grandeur et en direction, il reste permis de les déplacer arbitrairement en les laissant parallèles à eux-mêmes et en conservant les mêmes distances. Il est évident qu'une fonction périodique prend, dans l'intérieur de l'un des parallélogrammes du réseau, toutes les valeurs dont elle est susceptible, et que ces valeurs se reproduisent exactement les mêmes aux points correspondants de tout autre parallélogramme.

608. Deux périodes a et j3 étant données, on peut en déduire deux autres ma-\-n^, m'a-\-n'^, m, n, m', n' désignant quatre nombres entiers arbitraires, et ces deux périodes nouvelles fourniront, comme les premières, un réseau de parallélogrammes aux sommets desquels correspondent des valeurs égales de la fonction. Deux cas peuvent se présenter : ces nouveaux parallélogrammes ont les mêmes sommets que les premiers, sans qu'aucun ait disparu, ou bien ils ne reproduisent qu'une partie seulement de ces sommets. Il est évident que dans aucun cas ils n'en peuvent donner de nouveaux. La condition nécessaire et suffisante pour que les deux réseaux aient les mêmes sommets est que leurs parallélogrammes élémentaires aient même surface. Si l'on considère en effet dans le plan une surface de forme arbitraire, un cercle par exemple, de dimensions infiniment croissantes, le nombre des sommets qui s'y trouve renfermé est égal à celui des parallélogrammes; car en négligeant les parallélogrammes coupés par le contour, dont le nombre relatif est infiniment petit, à chaque parallélogramme correspondent quatre sommets et à chaque sommet quatre parallélogrammes. La surface d'un parallélogramme est donc la limite du rapport de la surface indéfiniment croissante au nombre des sommets qu'elle renferme, et pour que deux réseaux déduits l'un de l'autre aient les mêmes sommets, il faut et il suffît que les parallélogrammes élémentaires aient même surface.

Impossibilité d'une troisième période.

609. Une fonction bien définie ne peut admettre plus de deux périodes distinctes. Soient en effet a, |3, 7 trois périodes non réductibles à deux; nous allons prouver que la fonction se réduit à une constante. En combinant en effet les trois périodes deux à deux, et prenant pour origine un point arbitraire, on formera trois séries de parallélogrammes dont chacun couvrira le plan et pour tous les

L Cale. int. n6

sommets desquels la fonction aura la même valeur; chacun de ces sommets pourra de plus être pris pour point de départ de trois réseaux semblables, et l'on formera un nombre infini de réseaux à tous les sommets desquels doivent correspondre les mêmes valeurs de la fonction. Soient, parmi tous ces sommets, P, Q et R ceux qui forment le triangle de moindre surface. En formant un réseau de parallélo-

grammes ayant pour côtés QP, QR, tous les sommets de ce nouveau réseau seront des points déjà obtenus; car en portant à partir d'un point quelconque une ligne égale et parallèle à PQ ou à PR on ajoute à la valeur de la variable qui correspond à ce point une somme de multiples de trois périodes. Aucun point déjà obtenu ne pourra d'ailleurs se trouver dans l'intérieur des nouveaux parallélogrammes, car, sans cela, contrairement à l'hypothèse, il formerait avec deux des sommets un triangle de surface inférieure à PQR. Tous les sommets déjà obtenus appartiennent donc à un seul et même réseau, et les trois périodes sont réductibles à deux. Il faudrait, pour qu'il en fût autrement, que la surface du triangle PQR se réduisît à zéro, et la fonction ayant la même valeur pour tous les points du plan serait alors une constante.

Propriétés des fonctions doublement périodiques bien définies.

610. Les fonctions auxquelles se rapportent les théorèmes que nous allons démontrer sont supposées bien définies; elles doivent, pour toutes les valeurs réelles ou imaginaires de la variable, prendre une valeur unique et déterminée, et l'on a vu (535) que, par une conséquence nécessaire, une telle fonction, si elle devient nulle pour une valeur particulière z = a de la variable, est de la forme

p étant entier et ij>(a) n'étant ni nul ni infini. Lorsque la fonction devient infinie pour la valeur z = /3, elle est de la forme

q étant entier et sr(j3) n'étant ni nul ni infini. On dit, dans les deux cas indiqués, que la fonction s'annule p fois pour z = a et qu'elle devient q fois infinie pour

611. Nous avons vu (539) que toute fonction bien définie devient infinie une fois au moins. Une fonction doublement périodique se reproduisant identiquement la même dans l'intérieur de cbaque parallélogramme (607) doit deveeir infinie une fois au moins pour une valeur correspondant à un point intérieur de l'un quelconque des parallélogrammes élémentaires; mais une seule valeur infinie, nous allons le prouver, serait impossible, et toute fonction doublement périodique devient infinie deux fois au moins dans l'intérieur de chaque parallélogramme élémentaire.

Il résulte en effet du théorème (539) que la fonction doublement périodique (f{z) doit nécessairement devenir infinie pour une valeur de z au moins dans l'intérieur de chaque parallélogramme. Soit z = a. cette valeur, on aura

<J/(a) ayant une valeur finie /t; car si le dénominateur était d'un degré/) supérieur au premier, la fonction serait considérée comme devenant/? fois infinie.

Calculons l'intégrale 1 f{z) dz le long du contour du parallélogramme élémentaire qui contient le point correspondant à :; = «. Si cette valeur est la seule qui rende la fonction infinie, on aura (349), (344)

I <fi{z) dz =^ 2 fi 11 s/ — I.

Mais les éléments de l'intégrale relatifs à deux côtés parallèles se détruisent évidemment deux à deux, et l'on a par conséquent

/ (fiz) dz = o.

Les deux équations (45) et (46) étant contradictoires, l'hypothèse dont elles résultent est inacceptable, et la fonction (p{z) doit avoir deux infinis au moins.

612. L'équation (p{z) = o admet aussi deux racines au moins dans l'intérieur de chaque parallélogramme, et le nombre total de ses racines est précisément égal à celui des valeurs infinies de la fonction (p{z).

Considérons en effet la fonction ' , ; cette fonction, qui est doublement pério-

dique comme la fonction proposée f{z), n'admet que des infinis simples. La fonction considérée ne peut évidemment devenir infinie que quand (}j(s) est nul luimême ou infini (533). Soit

60i DEUXIÈME PARTIE. - CALCUL INTÉGRAL.

p étant entier (535) et (j> (z) ayant pour s = a une valeur finie. On en déduit

(^'[z)=p{z — a]P-' '\i{z)+ (z — a)P ^'{z) et

. o'i.z)' /) ip'iz)

et comme (533) <\i'{z) est finie ainsi que (|*(s) pour z = a, a est, pour la fraction " ) un injîni simple dont le résidu est égal h p. Soit en second lieu

tj/(z) étant fini ainsi que sa dérivée pour z = a, on a

cp(z) {z — a) 4'(-^)'

et la valeur infinie qui correspond à z=:a est encore un infini simple dont le résidu correspondant est égal a — q.

L'intégrale de la fonction — — dz autour du parallélogramme est, d'après ce

qui précède, égale à

et comme (611) elle doit être nulle, on en conclut

c'est-à-dire que le nombre total des zéros est égal à celui des infinis.

613. On doit faire cependant une remarque importante au sujet des valeurs correspondant à des points situés sur le contour du parallélogramme élémentaire qui rendraient la fonction nulle ou infinie. Le raisonnement précédent ne s'y applique pas, mais l'un des sommets du parallélogramme pouvant être choisi arbitrairement, il sera toujours aisé d'éluder la difficulté, quand elle se présentera, par un déplacement des côtés dont la grandeur et la direction sont seulement données.

On peut d'ailleurs étendre le théorème à ce cas :

Soit P un point situé sur le contour du parallélogramme pour lequel la fonction S— , devenant infinie, ait un résidu égal à &; le point P,, placé symétriquement sur le contour opposé du parallélogramme, présentera le même caractère, et si l'on calcule / — ~— le long du contour ABCD, en réduisant l'intégrale à la

valeur principale, les résidus relatifs aux points P et P, devront être multipliés seulement (345) par v:\J— i , en sorte que les deux points P et P, donneront dans l'intégrale 2kn\l— i , comme si, en employant la formule générale, on ne comptait que l'un des deux seulement.

Supposons enfin que la fonction ^ deviejine infinie pour le sommet A du

parallélogramme élémentaire, et par conséquent aussi pour les trois autres sommets pour lesquels elle aura le même résidu k. On trouvera aisément, en suivant la

même marche que (345), que, dans le calcul de l'intégrale / ^—^dz, il faut multiplier le résidu relatif à chaque sommet par le produit de V — i par l'angle correspondant à ce sommet, en sorte que la somme des quatre termes sera 2kv:\l — i , précisément la même que si, en adoptant la formule générale, on n'avait compté qu'un seul sommet. Nous pouvons donc étendre à tous les cas les résultats précédemment ohtenus en convenant de ne compter qu'une seule fois les infinis et les zéros de la fonction relatifs aux points symétriquement placés sur le contour du parallélogramme élémentaire.

Théorème de M. LiouviUe.

614. Toute fonction bien définie ayant pour périodes 2« et 4wV~ " est expri-

d?,\nnmu

mable rationnellement en fonction de s'inamu et de sa dérivée

du

Ce théorème est un corollaire presque immédiat du principe démontré (542) : Quand deux fonctions bien définies ont les mêmes zéros et les mêmes injinis, leur rapport est une constante.

Soit F(«) une fonction doublement périodique ayant pour périodes 4" t^l

2w'v/— I. et, dans l'intérieur d'un même parallélogramme élémentaire, a.^, «2,..., a„ les zéros et /3,, /Sa.---. P« les infinis toujours en même nombre (612) de la fonction. Posons

La fonction ip (m) étant égale à ç (2^^ — w), les zéros et les infinis peuvent être représentés par «'^ et 2w — a, , a'j, 2w — a'^,..., «'^. et 2w — a'^ et /5', et 2w — jS', , P'2 et 2w — P'a,---. jS'^. et 2W — p'^, qui sont précisément ceux de l'expression

(sinamM — sina/na', )(sina/WM — sin ama'^). . . (sinamz/ — sin«ma/,) (sina/WM — sina/n(3', ) (sin a/n a — sinam {3j) . . .(sinamw — sina/n (3'^..)

dont le rapport à y (m) est par conséquent constant. Posons en second lieu

(48) ' ^i^^s^^^u)-Y{-}.os — u)Y{u) — Y[iiis — u)

ds'inamu cosamu Aaniu '

du on a

l|i(«)=:lj;(ao) — m);

car, en remplaçant u par 20J — u, le numérateur et le dénominateur de (48) changent tous deux de signe : on peut donc représenter les zéros et les infinis de <!'(") respectivement par y,, 200 — 7,, Va» aw — 72>->-> 7«> 2&j — y„ et c?(, 2w — c?j,..., c?„, 2 0) — c?„, et par conséquent

, , (sinam« — sin am y,) (sin «m m — sinamva). . .(sinamw — sinamy„)

^^•^' '^ ' [sinaniu — smamo,). . .{sina/wM — sinamà„)

C étant une constante.

f{u) et 4'(") étant des fonctions rationnelles de s'inamu, on déduira des équations ( 47 ) et ( 48 ) les valeurs de F (a) et de F (2 w — m) , l'une et l'autre de la forme

», rfsinaOTM

OÙ M et N sont des fonctions rationnelles de sinamw.

Il résulte évidemment de la démonstration que, si l'on avait

le coelïicient de — -, serait nul dans l'expression de F(«). Si, au contraire,

on avait

il en résulterait M = o, et ¥ {u) contiendrait ^'.""'"en facteur.

Remarquons enfin que si l'une des deux fonctions f{u) et <|'(") devenait nulle pour la valeur w' y/ — i qui rend-sinamu infini, il faudrait remplacer le facteur

(sïaamu — smama'J— i) par-^

' ' ' sin amu