MULTIPLICATION ET DIVISION DE L'ARGUMENT
Calcul direct de s>mamnu, cosamnu, Aamnu,
615. Les formules qui expriment les sinus et cosinus d'amplitude d'une somme permettent de calculer successivement le sinus et le cosinus d'amplitude du double, du triple, etc., d'un argument donné. En faisant, par exemple, m = v dans les formules d'addition, on trouve
/ . 7.sinainucosamu Aamu
siaam 2m = -
( I ) '. ces am iu ^=
I — /l'sin'amw
cos^amM — sin'awH A'amu I — /f^ sin' amu
A}amu — h'' sm' amu cos' amu I — h' sin* am u
En remplaçant dans les mêmes formules u par 2m et se servant des résultats précédents, on trouvera, en posant pour abréger s'mamu = x.
On pourrait évidemment calculer ainsi le sinus ou le cosinus d'un multiple quelconque de l'argument; mais cette méthode n'indique pas la loi de formation des numérateurs et des dénominateurs, elle n'en fait pas- même connaître exactement le degré; car des facteurs communs s'introduisent dans les deux termes des fractions obtenus. On peut les éviter en suivant une autre voie qui mène plus rapidement au but. En multipliant les valeurs de sinam(M + ç') et de sina;;i (u — i>) (593), on trouve
.,,.,, sin'flffiM — sin'amc
(3) sinam(u + i>)sinam(u — f) =
I — /f' sin^amu s'm'amv
Si dans cette formule on remplace u par {p + i)uetv par pu, on obtiendra la
suivante :
s\n'am(p+i)u — sin^ampu • "
(4) s\namusinam{ip + i)u= , , . .■ — ; ; — ^ r—, — '^
*^' > / ' i — i('sin'am[p -i-i)usin'ampu
Mais on a
•is'mampu cosainuii Aampit sin am ipu = 1^ c r .
I — /r" sin* am pu
Si donc on pose, en désignant par/) un nombre impair quelconque,
sinampu ;= ^f-'
et par suite
cos am
/"' = Q-yQ;.-p/;.
on aura, en désignant sinamw par œ,
Vjh+i Vn V/i +1 — " "n "n +1
P^^ ^ aP„Q„s/(Q„^-P^)(Q,^-/f'P>)
On pourra donc poser
"j/H-l •*■ — : r „ + , vô — "n Vn T 1 > V-n+l ^— Un Vn+i ' " t « ' n^i >
Le radical qui figure dans l'expression de P^,,, et qu'il est impossible d'en faire disparaître, n'est pas cependant irréductil)le. Si l'on pose, en effet,
sin am M — x,
sinamnu ^f -.
on a
d'où l'on déduit
