I. Culc. in

6i0 DEUXIÈME PARTIE. - CALCUL INTÉGRAL,

mais

dr d P„ "" dx *^" dx

dx dx Q„ Q^

V^(i-r) ( I - /r'r^") = qt V^iœ - P,î) (Q,! - /."Pî,) ,

l'équation (8) devient donc

^" dx " dx

et l'on a

Si donc — est rationnel, j=r^ ne contiendra que le seul radical y (i — ^''j {i — k^x'-),

et l'on voit, en outre, que les carrés Pj„, Q',, seront rationnels. En partant des valeurs

on formera successivement P2, Q2, P», Qa,-.., et l'on voit aisément que, pour les valeurs impaires de n, P„ et Q„ sont des fonctions entières, la première de degré n^, et la seconde de degré n^ — i; P„ d'ailleurs ne contient que des puissances impaires et Q„ des puissances paires de x seulement. Si l'on pose

Aox -h A,x^+ A,x'-\-. . .-hAn'-.x"' '^^ , ^' ~ B, X"'-' + B, x"--^-h ■ . ■ + B„.r"'

il existe entre les coefficients du numérateur et ceux du dénominateur des relations faciles à obtenir. Si l'on change, en effet, « en a + u'\/ — i, s'mamu ou x

se change (605) en y^, et s'irmmnu ou y en -.-• L'équation (g) doit donc être telle, qu'en remplaçant a; par^— ? j devienne j-- On en conclut aisément

Ao = B./r^, A,=^B,/r '',..., A„.,, = /.~^B„.,.

D'ailleurs, pour une valeur infiniment petite de oc, y est égal à nx; par con-

séquent

Si l'on chasse le dénominateur de l'équation (9) pour ordonner ensuite par rapport aux puissances de x, l'équation prendra la forme

et il résulte des relations précédentes que la somme des racines est

et leur produit

ny,

Division des fonctions elliptiques.

616. Les formules (1) qui expriment sina/nau, cosamzu, Aainzu donnent immédiatement

CCS am u

, . Il . i / I — Aamu , i-

(12) smrtwi - =± j- i/— =±4/ ^

?. /r y i + cosa/nK y i-f-Aamw

, " , /cosamu-^ ùiamu , /i — tc'' 1 i — Aamu

(i3i cosam-=dzi/ r = zh 4 / — = — i/-. »

2 V 1-i-Aamu y /i= V Aamu — cosamit

(i4) Artm--— ±\/ =±^1 — /.'i/-

2 y I -h cosa«i«< y Aamu — coi> amu

Ces formules ne donnent que deux valeurs, mais on y suppose coso/nu cl Aamu connus; si l'on donne seulement sinamu, le cosinus et le A ont cliacnn

deux valeurs, et la formule fia) donne huit valeurs pour sinam--. on trouve

Hinam

n v'i H- ksinamudtz y/i — li s\namu

* ±\/i — sinamudz \/i + s'inamii

On s'explique aisément ces huit valeurs. Tous les arguments auxquels correspond

un .sinus d'amplilude donné sont représentés par la formule

dont les moitiés sont

ol le sinus d'amplitude a huit valeurs égales deux à deux et de signes contraires, répondant aux arguments

hW, hW + W V — I ,

^applications géométriques .

617. Si l'on coupe par une droite la courbe du troisième degré dont l'équation est

(i5) y^=a -\- bx + cx''+ dx^,

la somme des trois valeurs que pfend l'intégrale

Jo \Ja + bx -\- ex'' -f- dx^

lorsque l'on prend la limite x égale successivement aux abscisses des trois points d'intersection, a une valeur constante (591) pour toutes les droites du plan.

Soit

a + bx + cx'+ dx'^= d{x — <x)[x — (3)(.r — y).

Posons

a; = [3 sin'' amu + y ces' am m;

on aura

X — et =1 (y — a.) -\- [^ — y)sin'aOT«,

a? — [3 = (y — (3) cos'a/nK, (17) (

.r — y = ((3 — y)sin'a/nM,

dx := ■2.{<^ — y)s\namu cosamu Garnit du.

LIVRE TROISIÈME. — THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES, et par conséquent

dx 2.Aaniudu

^d{x — (x){x— (3)(dr-

^' i^'d{x — y)x/i—^--^s\n'amu

Si l'on suppose que le module k^ de sinamu soit ,■> on aura

Z & — y t / I — sln'amii =^\amu.

2 du

sld(x-oi){x-<^)(x-y) s/d{x-y)

l'intégrale (i6) est par conséquent proportionnelle à u. Les équations (17) donnent d'ailleurs dans ce** hypothèse

y'=:d{x — x){x — |3)(.r — y) et par conséquent

d{y — x){y ~ ^y sin' am H cos'amuA^n m H,

j=:(j3 — y)\/d[x — y)sinaniucosamu Aamti;

a; et j s'expriment donc rationnellement par des fonctions elliptiques de u, de telle sorte qu'à chaque valeur de u correspond un seul point de la courbe, mais la réciproque n'est pas vraie, et toutes les valeurs de u qui donnent le même sinus d'amplitude et le même produit cosamuAamu correspondent au même point. La somme de trois des valeurs de u qui correspondent à trois points en ligne droite est constante.

Si par le point qui correspond à la valeur a de m on veut mener des tangentes à la courbe, en désignant par u, la valeur de u pour le point de contact, on aura

(19) -21(1 + X C + i^niM -\- 2nM' ^ — i;

C étant la somme constante supposée connue, à laquelle on doit évidemment ajouter un multiple arbitraire des périodes,' on obtiendra u, en divisant en deux parties égales la différence C — a, et parmi les huit valeurs indiquées f616 ) l'équation (19J n'en fournit que quatre,

ce qui fait quatre points de contact, et l'on obtient, les sinus d'amplitude correspondants (611) sans extraction de racine cubique.

Considérons la droite qui joint deux des points de contact, par exemple, ceux qui correspondent aux arguments

et la droite qui joint les deux autres points. Ces deux droites iront se couper sur la courbe, car les arguments qui répondent à leur troisième point d'intersection avec la courbe sont respectivement

équivalents l'un et l'autre, en supprimant les périodes, à a — 2w, et correspondant au même point de la courbe. On retrouve ainsi ce théorème de Maclaurin, qui, étuni proj'eciif, s'applique à toutes les lignes du troisième degré :

Si d'un point pris sur une courbe du troisième degré on mène les quatre tangentes autres que celle qui touche la courbe en ce point, les droites qui joignent deux à deux les quatre points de contact se coupent sur la courbe.