Considérons la lemniscate dont l'équation est

l'arc OM, est exprimé par l'intégrale

où la limite j9, est le rayon vecteur du point M. On en déduit, en prenant le module P égal à — I ,

pi =: sinrtwSi.

Si Pi est le rayon vecteur d'un autre point Ma, et So l'arc OM^, on aura

pj = sinamS,.

On pourra calculer sina/?i(S, + Sj , et le rayon p' du point I milieu de M, Ma

Si + S sera s'mam ''- -% qui évidemment, d'après ce qui précède, se déduira de p, et p,

par des formules où ne figurent que des radicaux du second degré, que l'on pourra construire avec la règle et le compas.

On peut, pour évaluer l'arc de lemniscate et résoudre le problème précédent, adopter une autre variable qui permet d'éviter les intégrales* module imaginaire. L'équation de la lemniscate étant en effet

les coordonnées x el y peuvent être représentées par les formules

X = rt coso i / I sin'o.

sm^ coscp.

et l'on en déduit

en sorte que l'on a

j/=.ii

rfcp

o = — sin am S, ' a

le module étant l/-» et les formules précédentes permettent de calculer la valeur

de f qui correspond à l'arc - quand on connaît celle qui correspond à l'arc S.

Division en un nombre quelconque de parties égales.

619. Lorsque, sincr/wa étant connu, on veut calculer sinam — , , » on pourra

d'abord à l'aide des formules données (616) calculer sina/n — , - et le problème sera

ramené à la division de l'argument par un nombre impair 2« + i . Posons

sinama=:r, s\n ain~r=x,

n étant impair, nous aurons (615) une relation de la forme

Ao .r H- A, a:^ 4- A, a?»-h . . -1- A„'i X"'

dont le degré est égal à n^.

Il est aisé d'explicjuer les n'- valeurs de x qui correspondent a chaque valeur dej.

Les arguments qui répondent à un même sinus d'amplitude / sont compris dans la formule

— i)'' X -h ipat -r- ■îqoi' \J — I, . et la «'"'"' partie est par conséquent exprimée par

— I / " 4- 2 « - + 2rt

Il suffit évidemment dans cette formule d'attribuer à p les valeurs inférieures à 2 n, et à y les valeurs inférieures à n, on obtiendra ainsi an- valeurs de l'argument; mais elles en fourniront n^ seulement pour le sinus d'amplitude, car ces valeurs groupées convenablement deux à deux donnent pour somme 20). Les valeurs distinctes qui sont les racines de l'équation (20) sont comprises dans la formule

smaml — l- 1 — ?

où Ton donne ap eia g n valeurs consécutives, par exemple, o, i, 2,..., n — i.

Les n' racines de l'équation (20) so«t inégales. Considérons en effet deux quelconques d'entre elles

4/>M -+■ 2ÇW'^— I ^

sinaw

/ X 4Pi W + 2 0| (ù J—l

sinrtm I — t- ^-L 1 î

Il faudrait pour qu'elles fussent égales, que la différence des arguments se composât d'une somme de muliiples des périodes 4w et 2m'v/— i, ce qui ne peut avoir lieu, ou que leur somme fût égale à 2w, augmenté d'une somme des mêmes multiples, et il faudrait, on le voit aisément, que a fût pour cela de la forme

LIVRK TROISIÈME. - THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. Hil

s'inama, c'est-à-dire y, aurait alors l'une des valeurs ±i, ou ± y En dehors de ces

•^ If

cas particuliers les racines sont toutes distinctes.