Considérons la différentielle

x''dx{a+ bx)!" \/a+ bx

où n désigne un nombre entier. On peut (43) la rendre aisément rationnelle, mais il est plus élégant de l'inlégrer par des réductions successives. On a, en posant a+ bxr=z z,

(3 \x"z'^ 'dx=T — V \x"-'z'^ ' dx,

J b in + ip + \ b 2n-{- ip -\- i J

et comme on a évidemment

n zP dx izi' \l'z

on en déduira

/xzP dx 2zP - / z a \

^2 ~ b' ^^\o.p-Jri ip-hi)^

/^'' zf dx 22'' ,- / z^ 2az a' \

x'zPdx izP -I z» 'àaz^ 3a'z a'

/x'zP dx 2Z^ - / i' 4«2' 6(1' z' ^a' z a' \

y/z ~ b" ^ \ip + 2 2/; + 7 7.p-Jt-é 7.p-\-Z 2/;-t-i/

et ainsi de suite.

Lorsque n est négatif, la formule (3) résolue par rapport à l'intégrale qui est dans le second membre permettra de substituer à l'exposant n — i l'exposant n qui est plus simple. On trouve ainsi, par un changement de lettres,

C zP dx zi' <Jz ip — in + i b fzi'dx

J x»^' sjz ^ anx" 2/t a J x" sjz

et l'application répétée de cette formule ramènera l'intégrale à

' zi- dx

r zf dx

sans qu'on puisse l'appliquer plus loin; car la formule (4) est en défaut dans le cas

où n = o. Pour réduire l'intégrale

f' zp dx

j xfz' remarquons que l'on a

zP dx zP~'(ax -hb) , , „i , zp-' dx

:r = ^ ■ dx =:adx Z'^ i -h 0 p- )

et l'on en déduit, en intégrant,

ip dx izP C zP-' dx

C zP dx izP rzP-'dx =.- = p + a j =- ;

J x\jz {ip— i] \lz J X <^z

par l'application répétée de cette formule, lorsque p est entier, l'intégrale sera

ramenée à

rdx 1 , dz — Ja 2 I z — ~ = — ^ / ^ '— = — ^= arc tang i / ^ x\jz \la y'z-h v'^ \l—a V "

On trouve ainsi

fdz dx C dx -

X J xslz

/z \fz dx „ C '/■*■ /- / -2 \

fz' \jz dx , C dx r /■z' az \

X J xsjz \5 3 ,/

('^dx^a^C-^^.

rz* \lz , C dx r /•z' fl^ — ï— dx=: a^ I ~ + 2 i/z i

,- / z'' az' a'z .

Iz ^ \7 5 i '

z^ az' a' z- a^ z

La formule (4) donnera

/zPdx zf sjz ip ~ \ b r zf dx x^ ^'z~' ax 2 » J xs/'z'

/zP dx zi' \j'z i i ip — 3b\ y ~ 21 Y ~ 2) h-' I X' Jz '^^■^ \^ 2 a) .1.2 a? \

/z''dx z/'v'ï I 2;» — 5 b y^7.)Y~2Jb'\

x' J^ 3ax i X- 2 2ax 1.2 a-J

= dx,

6' r zi' , o —, I — = dx,