X-. =r. sinrtml a

xcosam -~ \am 1- sina/n 3— J(i—x']{i — k'x')

i — /i'ar' sin'«m

2 w' s/ — « A 2 m' i/- X cos am Aam

sinam^ )/{i—x''){i— k^x'

I — /l'x'sin'am

Le radical v'^'i — x"^') fi — Px^) peut être exprimé en fonction rationnelle de a; et

àey. Si l'on a en effet

P et Q désignant deux fonctions entières de .T = sinawi-i et y la valeur de sinamu, on en déduit

^ dx dx dy n\J[ï— y'>)[\— k'^y'')

dx v'(i— ^')(i — A-=^'"

et cette équation donne v'^i — .x^jfi — K*x^) en fonction rationnelle de x. On aura donc

a-, =-. Oj(.r),

y, et Ço désignant deux fonctions rationnelles de x. On a d'ailleurs

9,| <Pî(^)l =: cpj[(p,(a7)| = sinrtm^ « -+- 1 ~ I,

et ces conditions suffisent, en général, pour que l'équation soit résoluble algébriquement, en supposant, bien entendu, connus les coefficients de y, (a;) et de Çn(ic) qui

contiennent ICI sinam — et sinam

Considérons l'expression

fV o • I II ipu ?.(/&)' v/—i\

Lélj ' \n n n j

OÙ a et |3 désignent deux racines quelconques de l'équation

et supposons que a et p restant invariables, la somme s'étende aux valeurs o, I, 2, ...,/; — I de/? et de (y, en sorte qu'elle se compose de n} termes; l'expression (21) restera invariable lorsque u y sera remplacé par l'expression

OÙ heih' désignent deux nombres entiers quelconques; le terme général devient en effet

22 st^'Sîsinaw - -f- ^tii- ^ h --^ ^v/— ' '

et en posant p + h— p' , q -\- h' ^= q'

(23 -jr^*7 a'' S' sm«/n - + ^L*- 1 *-■ ^- ,

p' et q' devant recevoir les valelirs h, h + i, .., h -h n, h', h' + 1 h' -h n, équivalentes évidemment aux valeurs o, 1,2,..., n — i, que dans l'expression (ai ) on devait donner à/> et à q; la somme placée entre parenthèses dans l'expression (21)

ne diffère donc de (aS) que par le facteur -,70^' ^^ ^ cause de a"= i, jS"-= 1 les

deux sommes ont même puissance n'''""'. Si donc on représente l'expression (21; par

cette fonction de u admet les mêmes périodes que s'inamu; elle est donc exprimable (614) en fonction rationnelle de s'mamu et de sa dérivée, et elle est de la

forme

dsinam h

du

D'ailleurs Yiu, a. /5 ne peut devenir infinie que si l'un des termes de la soniuie dont elle est la puissance n'^"" devient lui-même infini, c'est-à-dire si l'on a

lllbi.

d'où l'on déduit, «étant impair,

M =r «w' \J — I -h 2nfi(i> — ^p(,i — rf.qoi' \/ — i = m' y — i -h aAw + multiple des périodes.

La fonction (24) admet donc les mêmes infinis que siaamu, L doit être par conséquent remplacé par une constante, et l'on a

P et Q désignant deux polynômes entiers en »\namu. On a donc

V aP^-

'I sin am

Il ^p<Ji 1(]W

dsinam it du

Donnons à a et à jS toutes les valeurs possibles, et ajoutons les équations ainsi formées; quelles que soient les valeurs de /j ci q, si elles ne sont pas nulles toutes deux, le coefficient do

Slll<//»i

I « 4/"'' iii'ii' V — t \

sera égal à zéro, car il est le produit de la somme des puissances p des racines de l'équation binôme par la somme des puissances^; le premier membre se réduira

donc à Jt^ûnam , et l'on aura n

. ■ " V ."/rv ^dainaniii V„„ —;=: -,

//-siiii'//;/ — > i/ Ph- Q - > yT-H Qcosamit AamM,

et l'on a l'expression d'une racine ([uelconque par une somme de radicaux. Le nombre de ces radicaux est //'- — 1 , et non pas «^ car en prenant a = /5 = i la fonction

jLj \ii II n J

se réduit à la somme des racines, c'est-à-dire f615) kns\namu, et l'on a par conséquent

(aS) s\n ai)i -=- sin nm a -h y - i/P„ -h OmCOsamM Aa/nw.

621 . Les fonctions P,„ et Q,„ pourront être calculées comme il suit. On a (26) P„ -i- Q„, cosawM AawM = \ a'' j3'siii «m ( — f- ^-"-- -+ -li j ,

chaque valeur de m répondant à un groupe de racines a, /5. Or on peut par la l'ormule d'addition (593) exprimer sinamf - + ^^ + ^VJ^Ji — \ \ en l'onction rationnelle de &mam- ; par conséquent, le second membre de (26) est une fonction rationnelle de la racine sinam - = a;; mais il ne change pas quand on y remplace u par

u -+- 4/îw + zh'rj}' \/—i, c'est-à-dire w par une autre racine quelconque, et par conséquent, en nommant ic,, 0:2,.. ■, se,,-, les racines, il est égal à

fonction symétrique que l'on pourra calculer en fonction des coefficients de s {x), et de ceux de l'équation.

622. La marche suivante donnera plus rapidement le résultat. Considérons les deux sommes

la première est une fonction impaire de x, elle a les mêmes périodes que sinawM, elle ne change pas quand on change m en 2w — m, elle s'exprime donc en fonction de s'inamu par un polynôme impair 2P,„, qui évidemment sera de degré n. La seconde est paire, elle change de signe quand on change a en 2w — u, et elle est de la forme (614) 2Q,„ ^^ sin «m /< ^^ ^^ conclut, en ajoutant les deux sommes,

, , r, « ^ (ls\i\amu F (M, «, fi) = P„+ Q„ ^^^ ,

et en les retranchant, remarquant que le changement dep et q en — p el — q équi-

vaut au changement de a en , et de jS en 7; >

„ , I 1 \ .^ ^ dsinamu

on en déduit

jLu \n n n / Za sel' p'i \n. n n /

= \/^m-^Qi cos'amuA^amu.

Mais le premier membre considéré comme fonction de u a les mêmes périodes que s'\namii, il n'a d'ailleurs que les infinis de s\namu, et les infinis sont doubles; pour chacun d'eux enfin, le rapport à 3\n-amu est l'unité, et (6t4) il est par conséquent de la forme

ain' ainu — a',

a étant une constante.

On a donc

1/ P,^„ — Q,'„ cos'rt/H« ùy'umu =: sxu'itm II — a-.

Si nous posons sinawM = v, les polynômes P„, et Q,„ seront déterminés par l'équation

' ( 27 ) Vl. - Ql, {x-r')[\- l>\r' )-:(/— a' )".

Si l'on prend par exemple n = 3, l'équation à résoudre est (OiSj

(^8) on aura

on en déduit, en identifiant lés coefficients.

cette dernière équation (,'st précisément celle qu'il faudrait résoudre si l'on avait

j = o. La formule ( aS ) donnera

(33) ^=i+2^gV'^'"^'^' — 2 — +«W(«-r)('-/f'r).

la somme s'étendant aux valeurs de a données par l'équation (3i}.

Points d'inflexion des eourhes du troisième degré.

623. La droite tangente à un point d'inflexion d'une courbe du troisième degré coupe la courbe en trois points confondus en un seul, et si l'on désigne par u (617) la valeur de l'intégrale qui correspond à l'un de ces points, on aura

3m =: C + 4"îM -h a/lM' \/ — I,

et l'on voit une liaison très-intime entre la rechercbe des points d'inflexion et la

recberche de ûwam-^ connaissant sinamC. On aura pour valeurs distinctes de u

2WV-'

ce qui indique neuf points d'inflexion. La somm.e des Irois valeurs de m, qui ne se trouvent ni sur une même ligne horizontale, ni sur une même ligne verticale, est égale à C, et les trois points correspondants sont par conséquent en ligne droite. Il en est de même si l'on prend les trois valeurs de u situées dans une même ligne ou dans une même colonne.