EXPRESSION DES FONCTIONS SOUS FORME DE PRODUITS

Première recherche des formules.

624. Pour transformer sina? en un produit d'un nombre infini de facteurs, nous avons pris fl, 404) pour point de départ l'expression de sinna; en fonction de ûnx qui forme un polynôme entier; les racines, lorsqu'on y considère sina; comme inconnu, sont données à priori par les propriétés des lignes trigonométriques. Une marclie toute semblable conduira à la décomposition de ûnamx en produit d'un nombre infini de facteurs.

On a trouvé '615;

(i) s\uam(Q.p + i)x = -^1

P etQ étant deux fonctions rationnelles de ûnamx, la première de degré [ip -+- ij", et la seconde de degré {^p-h i)' — i; les racines de l'équation P = o sont les valeurs de sinama; pour lesquelles on a s'inam 9.p-h ]]x = (> : il est aisé de les calculer.

On doit avoir

(2/; + i ) J^ = amo) -t- 2«&)' V — i,

m et n désignant des nombres entiers quelconques. On a par conséquent

, , . . I a/no) invt' \J — 1\

(a) >-,\nain.r - sinainK — — + •

Pour obtenir les valeurs distinctes exprimées par celte formule, il sutfit de faire varier m de i à 4/> -h 2, et 11 de 1 à 2/; -1- r , car l\ ',) et 2 w' y'— i étant des périodes, l'addition de [\p -f- 2 à la valeur de m ou de y.p ■+- 1 à celle de n ne change rien à la valeur de l'expression 21. Le nombre total des combinaisons ainsi formées est 22/? + ly"; mais le nombre des valeurs de sinama; est moitié moindre.

Le nombre des valeurs distinctes exprimées par la formule (2; est donc [ip -1- 1 j*, et pour les obtenir toutes, il est aisé de voir qu'il suffit de (aire varier m et n chacun de ^Z» à -\- p.

La fonction P est, d'après cela, de la forme

,,, ,, . Tt/' / • . 2mM + 2«&)V— •\

(3) (, sin(7/»jc| I I smanix — ir,inani ,

C désignant une constante, et le signe Tl indiquant le produit de tous les facteurs obtenus quand on attribue aux nombres entiers m et n les valeurs comprises entre — p el -h p, et supprimant seulement celle qui correspond Ix m = o, n = o,

qui a été séparée et écrite en dehors du signe JJ-

On verra d'une manière toute semblable que le dénominateur Q, qui doit s'annuler quand sin«/n! 2/; + \)x est infini, est de la forme

nj> r . . a m r.) -I- ( 2 « + 1 ) w' J — i "1

en supprimant toutefois dans le dernier produit, qui sans cela serait de degré (2/? H- 1)' '^ facteur correspondant a rh =: o, n = p, qui a une valeur infinie. On a par conséquent

np ( . . 2 m o 4- 2 K &)' 1/ — 1 I s\namx — sina/n ■ — /' \ 3P + I

(5) sinaw (2/> 4- i).z == -, "^

n' r . . 2m&) -I- (2n -h i)«' V^— il smumx — sin«/w —

-/'L 2;>-hi J

Pour déterminer le rapport ,t,> supposons x intiniment petit; sinam(2p + \jX

pourra être remplacé par [-j.p -\-^)x, sinamx par .r, et les facteurs binômes du second membre seront réduits à leurs seconds termes; on a donc, en supprimant le facteur x,

ni' . 2OT&)-)- 2«W'V— I smani

(^' -w-rf . amu) -+-(2re -t- i)6>' y/ — i

sin am

La formule (5) devient enfin

(7) iiiuam{up-\- ij.r = ( ajt» -t- i) sin «/«je

s\n amx

2OT&)-j- 2«&) 1/ — 1

sin am —

zp ■+- 1

j-jP r sin amx ~l

-p\ amo) -(-(2/1+ i)(.)' 1/ — I I

I sm«w — ^ I

LIVRE TROISIÈME. — THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. On en déduit, en posant [ip -\- i)x = z.

(8] s\n am z =1 2. p + \)s'\n(

nlj'

SI lia/?;

sina/n

amw + 7.n(xt' \j — i -rp + i

ip + i

sinam

'] . fa/no) -(-{?.«-+- i)(a' y/ — ill

f sin ani ^ ^ — \

l L 2/7 -i-i Jj

z restant constant, taisons croître p indéfiniment : sin am — — nourra être rem-

placé par ^ , le rapport

sinum

sina/n

Il '

a, quel que soit h, - pour limite, et l'on a ainsi

sui am z = z

\ 2mw + 2«6)V— ' /

inKH -h ( 2 « +

m et n devant prendre toutes les valeurs entières positives et négatives, à l'exception bien entendu des valeurs iti = o, n — o qui doivent être exclues au numérateur.

625. Nous devons faire observer immédiatement, comme nous l'avons fait (1,404), que la formule précédente n'est pas rigoureusement démontrée, elle repose en effet sur la substitution du rapport de deux arguments à celui de leurs sinus d'amplitude; or cette substitution n'est permise que quand les variables sont infiniment petites, et l'expression

2OT(a -+- 2«&)' v^ — I 2/> -f- I

ne tend vers zéro lorsque/j augmente que dans le cas où m et n restent tous deux finis; ces nombres devant varier l'un et l'autre de —p à -hp, notre démonstration cesse de s'appliquer pour des facteurs dont le nombre est infiniment croissant, et il est indispensable, comme dans le cas où il s'agissait d'un sinus (I, 404), de démontrer à posteriori l'exactitude de la formule obtenue.

Nous remarquons d'ailleurs que pour obtenir par induction la formule (9), on