I. Ctilc inl. 'IQ

peut assimiler, à priori, s\namz à une fonction rationnelle dont le numérateur et le dénominateur se décomposeront en facteurs correspondants à leurs diverses racines C'est par des considérations semblables qu'Euler a déduit pour la première fois l'expression de sina; en produits, et que nous aurions pu écrire de suite la formule (9), sauf à en démontrer ensuite l'exactitude.

Contentons-nous de cette méthode rapide pour écrire les formules

noo (2/n + I ) w 4- anw 4/ — i ' ■, - -^. z

2m&)-i-(2re + i)M' \J — I

(il) Aamz=|l ^ ^^ — î

OÙ m et n doivent prendre toutes les valeurs positives ou négatives.

626. Avant de démontrer les formules précédentes, il importe de remarquer que dans les produits tels que ceux qui forment les numérateurs et les dénominateurs des seconds membres dans les formules (9), (10) et (i 1), on doit préciser l'ordre dans lequel sont appelés les facteurs, et la limite peut varier avec celui que l'on adopte. C'est une remarque analogue à celle que nous avons faite à l'occasion des séries (I, 248), qui peuvent en restant convergentes changer de valeur avec l'ordre dans lequel on écrit leurs différents termes.

Considérons d'abord un exemple fort simple analogue à celui qui nous occupe.

On a (1,404)

, , sin7r.r , ., / x''\ I x'\

et l'on peut dire, sans ajouter aucune explication, que sinria:; est représenté par le produit

Tr.rTT

dans lequel il faut attribuer à n toutes les valeurs entières de o à ac , et le produit est convergent quel que soit l'ordre des facteurs. Mais si l'on écrit

LIVRE TROISIÈME. - THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES, le produit deviendra

que I on peut écrire

le nombre entier m variant de — oo à + oo . Mais sous cette forme il faut préciser l'ordre des facteurs : le produit n'est plus convergent indépendamment de l'ordre qu'on leur attribue. Les facteurs correspondants aux valeurs positives de m ont un produit infini, il en est de même du produit correspondant aux valeurs négatives, et si l'on écrivait par exemple

l'expression n'aurait plus de sens. 11 faut, en cherchant la limite du produit (i4), égaler toujours le nombre des facteurs qui correspondent aux valeurs positives et négatives de m, et si l'on procédait autrement la limite serait altérée.

Supposons en effet que dans le produit (i4) on fasse varier m de —p'A +kp, k étant un nombre fixe eip croissant indéfiniment. La limite obtenue en faisant varier m de — /? à -k~ p étant évidemment — ^^i le résultat sera

Cherchons donc la limite du produit

On a

hvp

c'est-à-dire, puisque /> croît indéfiniment, en négligeant les termes infiniment petits par rapport à ceux que l'on conserve.

P + ' P Pour trouver la limite de la somme

considérons l'hyperbole dont l'équation est r= ' • Les divers termes de (17) représentent les rectangles ayant pour base l'unité, et inscrits dans l'aire comprise entre cette courbe, l'axe des x, et les ordonnées qui correspondent aux abscisses ^ et kp.

Elle représente aussi les rectangles de base unité circonscrits à l'aire comprise entre les ordonnées qui correspondent aux abscisses p -\- \ et kp + 1 , elle est donc comprise entre

flx