Une remarque semblable s'applique au produit

nm(t)

OÙ m et n doivent prendre toutes les valeurs entières de — 00 à -4- oc .

La limite d'un tel produit n'est pas déterminée, elle dépend de l'ordre dans lequel on y fait entrer les facteurs qui le composent. Soient en effet U la limite obtenue en multipliant tous les facteurs pour lesquels les points dont les coordonnées sont m et n se trouvent dans l'intérieur d'une courbe dont les dimensions grandissent indéfiniment, et U' la limite relative à une autre forme de ce contour limite entourant de toutes parts le premier contour, et grandissant indéfiniment avec

lui. On aura évidemment

ï-=nO

amo) -t- nntu' \l — i

le produit J J s'étendant cette fois à toutes les valeurs de m et n qui représentent les coordonnées d'un point situé entre les deux contours. On en conclut

2m&> 4- inat' ^ — i c'est-à-dire, en remplaçant chaque logarithme par la ."^érie (|ui le représente,

.^^ amo) + ?.«&)' v'—i ^ ^ [i. m fît -\- ino^' sj — i/

Si les contours limites ont constamment pour centre l'origine des coordonnées, la somme qui multiplie z est nulle comme composée de termes égaux deux à deux, et de signes contraires: celles qui multiplient :;', r.\... sont dans le même cas; les coefficients de s*,s°,... sont négligeables, parce que le module de la puissance — 4 de m'j> -h /lo/ V— I. est infiniment petit par rapport à celui de la puissance — 2. On aura donc en général

A étant indépendant de s, on en déduit

U'=Ue-*-',

et par la manière d'effectuer le produit on peut par conséquent multiplier ou diviser la limite par un facteur de la forme e"*''.