Étudions actuellement la fonction

imw

en y faisant varier m entre deux limites — M et + M, et n entre — N et + N,

M et N croissant l'un et l'autre indéfiniment de telle sorte que le rapport ^^ devienne lui-même infini.

La fonction f{z] ainsi définie satisfait aux deux équations

A. z -\- T-'ii' \l — 1) = — '^{z)e

.zyf^,

fiSO DEUXIÈME PARTIE. - CALCUL INTÉGRAL.

On a en offel,

0(Z -+- 2W) = (Z + 2r,))TT I IH ~ "-^:= V

Mais on a identiquement

z -h 3.U) / z \ 2(m + i)m -(- aww'V — ^

D'ailleurs, pour An = — i , /i = o, on a

amw -t- 2/iw' y/ — r '•'''

dont le produit par s + ao) est et l'on a

nr 2 1 r-r r^fm 4- i)m +2716)' v'— ' 1

1+ "1= n -^ — - — 7^= — • L 2(m -+- i)&) + 2rt&)' y/ — I J ■^-* I 2mto-|-2nMV — ' J

La limite de l'expression

-|-|- r 2 ( /« + I ) ti) 4- 2 n w' v' — I I [^ amto + 2Ai6)' v' — I J

est indépendante de z ; nommons-la A, nous aurons

o(2 4-2'.i)"- — AzTTiH , , •

■^-^ L 2(w -I- ijoj + anw'y/ — ij

On en conclut

■'-■■^ L 2(ot -t- i)w 4- 2«6)' v' — "J