mo) 4- itim' \J — I

Lorsque m varie de — M à 4- M, et n de — N à 4- N, les produits qui figurent au second membre de f 20) ont un grand nombre de facteurs communs; il reste, en les supprimant,

<P ( 2 4- 2 Ci) )

les produits étant formés par les facteurs qui correspondent aux valeurs de n comprises entre — N et -f- N. Mais N étant par hypothèse infiniment petit par rapport à M, les deux produits ont évidemment pour limite l'unité, et l'on a

cp ( z 4- a &) ) ^= — A 9 f z ) . Pour déterminer A, supposons z ^ — m, nous aurons

et comme le changement de s en — :; ne fait que changer les uns dans les autres les facteurs du produit ^^S ip(z) est une fonction impaire de z, et l'équation (21) donne A = 1; on a donc enfin

629. Remplaçons en second lieu z par = + aw'v^i.on trouvera, absolument comme (628j*,

'!f{z+ 2wV — '

— \ TT '"* ; 7-7-7= TT [2^0) + 2(/i+i)(,)V—ij

— 1) ■■•-■• | 2m6)+ 2(«-Hl)&)' y/— I 1 ■•-■■• / » J

2 mo) ■+■ 2 n w'

Dans le second quotient qui ligure au second membre, on ne doit pas supposer au numérateur m = o, n = o, ni au d'énominateur 7?z = o, /^ = — i , et pour tenir compte de cette restriction, il suffit de supprimer le signe — , qui est détruit par

— — 1; on a donc, en supprimant les facteurs communs,

a-(-2&)'v'— 0 L 2m&)4- 2(N -f- i)6)'V — ij i-l ' ' v j

le rapport

2mw — aNo)' y' — I

TT [iniM — 2 N &)' v/ — I )

m variant entre les limites — M et 4- M qui sont infiniment grandes par rapport à N, dont la valeur fixe doit elle-même être considérée comme infinie. Or on a

imcti -+- 2(N -I- i)«' v' — I 2m(» + 2( N + i)m' v*-

2/nrjj — 2Nw' \^ 1

2/n6) — aN&j'^ — I

2/nb>

et pour m = o

2(N+l)&)'\/— I- 2(N-I-|)mV— I g + 2(N + l)D)'v/— l' f — 2Nw'v^— I Z — 2N6)'\/ — I

/ ,/ \ z -1-2 N + I &)V-iJ 11 iH —

(p( z H- 3&)' V— ' j l amw J

(z— 2Nw'v/— 011 H ^

c'est-à-dire (I, 404)

/ , , sin [ 2 -4- 2(N -Mlai'i/— ' 1 —

-^{z) - sin(2-2Nt.V=^)-

ou, en remplaçant les sinus par leur expression exponentielle,

T(2) '^'^-•(^-,No.'v/=7) 1V^(^,N..V=Ï)

e " devient nul à la limite, et l'on a

CB f 3 -1- 2 6)' v/— I ) -"^'' ^':'.'

ce qui est la seconde formule (19; annoncée (628). 630. En considérant de même l'expression

*- \ 2/7ÎW H-{2« -h l)w \/ — ij

dans laquelle m varie de — M à -f- M, et /t de — N à -1- N, M et N grandissant indé-

finiment de telle sorte que le rapport r- soit intiniment grand, on trouvera par

des calculs tout semblables

( <\i{z -h 9.rj))=z>\l{z),

' <\'( z -h 2',)' \/—i) ■= <]i{z)e '■' e "' . 631 . ]>es fonctions f(z) el^( z) sont périodiiiues, et elles ont pour période commune /i'j>. De plus, d'après les équations (19) et (23), le rapport^— n'est pas

altéré quand on augmente z de 2&)'v — i , et ce rapport a les deux périodes l\'>) et

2u'v —I comme la fonction s\namz. De plus, ce rapport est nul pour les valeurs

de la forme

z = 2 m f,) 4- 2 n r,t' \/ — I , et infini pour

m et n désignant des nombres entiers quelconques. Les deux fonctions ^— et sina/ns, toutes deux doublement périodiques et toutes deux bien définies, ont donc les mêmes périodes 4''J et 2 wV— ' ; telles deviennent nulles et infinies pour les mêmes valeurs delà variable, et ne peuvent par conséquent (542) différer que par un facteur constant, en sorte que l'on a

, /•, . />9(2) n ^^\ 2mw -t- and)' t/— •/ (24) smrtmz = C Vf— = C = ^ 1 ^,

■ ' TT r - 1

. 1 . sinamz , ^ ■ 1 . i- •,> ^ ,^ ■■

et le rapport devenant égal a I unité pour z = o, on a enfin C = i. Il no

faut pas oublier que dans le second membre de (2/1) les produits doivent s'étendre aux valeurs de m comprises entre —Met -+- M, et à celles de n comprises

entre — Net +N, Met N augmentant ensemble suivant une loi telle que j^ devienne

infini.

Les formules (10), (ii) qui représentent cosamz et ^amz se démontreraient absolument de la même manière.

Transformation des produits doubles en produits simples. 632. Reprenons la formule (24) que l'on peut évidemment écrire

sinamz ^= z

ni- -^ =1