Reprenons la formule obtenue

(r) swam

I (,-sinj:'(i — »ç'cos2J^ -t- ç' )(' — 5'-^' cos5..r -+- (jf* )(i — aç'cosaa? + q"i ..

^J,- ^ (I — 2Ç cosaar H- V')(i — ag'cosp.x -t- 9') (1 — 2 g' ces 2 jc -t- ç") . . .

Le numérateur et le dénominateur du second membre ont été considérés séparément par Jacohi (|ui les a désignés par des notations particulières en donnant à leur théorie qu'il a créée, une importance égale à celle des fonctions elliptiques elles-mêmes.

Posons

/ 2 Cl) ,27 \

(2) (3 1 1 = C(i — 2Ç cos2a: -+- 9-)(i — 2(/'cos2x -4- 9')(i — 2g»ros2^ -4- g'°). . .,

(3) H ( — ^ — I :=2C v^qr sin.r(i — 2fy'cos2jr + r/')(i — 2(j(* cos-îx-i-q') \ — 2(j'' cosf.x -h q*). . ■ , C étant une constante dont la valeur sera ultérieurement choisie; nous aurons

(4) smaw

V'/'- ft/1?!^

et, en remplaçant par j;.

Les fonctions cos^om.r et Aamx s'expriment aussi par les deux fonctions nouvelles; on a (634)

(fa) ces «m

li^ 2^ycosx(i4- 2 qi^ 008 237 + ç')(i + 2qf'cos2x + ç')('+ ■>.q'Cos->.x -+- q'^)... h (1 — 7.q cosa^r + </'){ 1 — 7.q'cosf.x + (/')(i ^^ 2</'cos9.ji7 + q'°) . . .

c'est-à-dire

et par conséquent (8)

On a enfin (634^

COSflOT

MX //l

e(îîiî)

(q) /\(tfH =: V" -, rr} :; r: t '

•' TT (i — 2q cos'ix -h q^}{i~ y.q'cos2x + q')(i — 2q''C0S2X + q"). . .

c'est-à-dire

et par conséquent Si l'on pose

àamx=: Jf(' — Vtt — r—

@{X ■+- (,))=:Qt{x),

les trois fonctions elliptiques se trouvent exprimées par les formules

sin amx

cos am

x = Jf^, V k (d{x)

Aamx =^ \lk

Les équations identiques

sin-rtOTx -\- cos'amx = i , f(^ sin''amx + à'amx = i

donnent entre les quatre fonctions les deux relations algébriques

H'{x)-hk'E',{x) = kQ'{x], kU^x) -\- k'Q]{x) = i-i'{x).