I. Calr. int

637. Les fonctions Hfa;) et Q{x) peuvent se ramener aisément l'une a l'autre. On a par définition

„.,- . Tix / TTX \/ , nx N / nx \

= 2Cs/qsin — li — iq'cos- \- q'\ [i — iq' cos ^-q'Ui—2q*cos- \-q"j--i

mais

TX ( 'Lîi=î\ / 'L:i>^\

1 — 20" CCS ^^ y- q'" := \i — q" e " / \' — (/"e " /,

nxV— I

r jv'^

sm — = p= = e V — I , .

et par conséquent

(20) H(.r) = CÎ/ge ^" v/— iV-« " /V-9'e »' JV — ç^e "

En changeant a; en ;» + './y/— i, et se rappelant que e " = fj, on en déduit

= 0^ «e ^" \/~i\i-qe " JVi — ?e "' /\i — g'e " )\i — q'e " )..., et en réunissant deux a deux les facteurs conjugués

I T:r\/~i 1 . , / TT X \ I T X '

=:C\J—iq *e "" (i — agcos 1- (/M ( i— 2 g' cos-^ h q'

X ( I — 29' CCS hq"

ou enfin, d'après la formule (2),

On trouvera d'une manière toute semblable

et ces formules ramènent évidemment l'une à l'autre les fonctions H et 0.

638. Si dans les formules (a'i) et (24) on remplace ce par a:H- w'v/— '' on trouve, comme on devait le prévoir (628),

0(.r + ac)V-') = --e " 0{^) = -e" 0(x),

Les formules f t) et (2) donnent enfin immédiatement

La comparaison de ces quatre formules avec les expressions (i4). ('5), (16) met en évidence la double périodicité des fonctions elliptiques. On voit, par exemple, par les formules (i4) et (25), que a? augmentant de 20/ y/— 1 . le numérateur et le dénominateur de sinan2.r sont multipliés par un même facteur, et que leur rapport ne change pas; l'addition de aw à l'argument change au contraire le signe du sinus d'amplitude sans en changer la valeur.

Développement en série des fonctions Q{x) et H(,r).

639. La fonction Q[x) ayant pour période 20J peut être considérée comme une fonction bien définie de e " .Si l'on pose en effet

Pv/-.

on aura

7ra / . Tta.

CCS h V — I sm —

A chaque valeur de z correspond, cela est évident, une seule valeur de p, et un nombre infini de valeurs de a différant les unes des autres par un multiple de 2w, et par conséquent une seule valeur delà fonction Q{x) qui peut être regardée comme une fonction bien déterminée pour toutes les valeurs de z, à l'exception de s = o et de :; = 00 , elle peut donc (534) se développer en série ordonnée suivant les puissances positives et négatives dez, c'est-a-dire (car cela revient évidem-

ment au même) suivant les sinus et les cosinus des multiples de —-• Posons donc ' ' 1,1

Q{x) est une fonction paire qui ne change pas lorsque x se change en — x, on

en conclut

An = A n.

Si dans l'équation (aS) on remplace les deux membres par leur développement déduit de la formule (29), on obtiendra la relation suivante, qui doit avoir lieu quel que soit x.

-- \^-jir + i.,W-<)

Il 1! XV— ï

i(,,+ wvC:T)

et en égalant les coefficients de e " dans les deux membres

>k itu'

c'est-à-dire, à cause de e " = ^,

tous les coefficients s'expriment donc en fonction de A,,, et l'on a

-qe

2HxV'— I 3

aitxV^— I 3tcxV — I

c'est-à-dire

3oi 0 a? = Ao I — 2(7 ces h 2o'cos 20' ces h 20" ces . . .

On trouvera de même, en remarquant que H(a;) est une fonction impaire,

(3i) H^r = B„ fl sm (/*sin 1- fl ' sm ^ * sm ~

les constantes Ao etBj, restent seules à déterminer, et comme l'une d'elles est arbitraire, à cause de la constante C introduite dans la détînilion des fonctions H et 0, il suffit de déterminer leur rapport.

C'est la formule (aS)

qui nous permettra de le déterminer. Si, en effet, dans celte formule on remplace

les fonctions lii{x -+- w'y/— i) et <d{a:) par leur développement en série ordonnée

suivant les puissances de e '" qui se déduisent des formules (3o) et (3i), en y remplaçant le sinus et le cosinus par leur expression sous forme d'exponentielles, on aura

(jin4-i)* (an4-i)r. j V^— I [32) II/».^X ""' 1/ -v-'" » - '^

et, en remplaçant x par x -+■ w \l— i, remarquant que e. " = q,

(33) R{x-^co's/-ï) = y ^^ (-i)"-'<7 * ' ' e

\-l R i/ITT -- -xY-i ,.in+i)i:xY-j

2A0 et la comparaison avec (aSj donne

Ao reste arbitraire : nous le prendrons égal à l'unité, et nous aurons enfin les deux séries toujours convergentes pour les valeurs réelles ou imaginaires de x.

T.X , ITIX „ i-KX

h 2fl'C0S 2fl'C0S

0) '<) to

(34) K^Q(x) — l— 29 ces -^ 4- 2(jl'C0S -^ 2qi'C0S — h. . .,

(35) H(a;) = 2 o'sm o' sm ■+- q sin • • • •

640. Nous devons chercher quelle valeur l'hypothèse Ao = i impose à la constante désignée par C (636). Si l'on désigne cette constante par tp (</), nous aurons,

en égalant les expressions (r) et (2) de Q{-'^^-\ et Hf | aux séries (34)

et (35j, où l'on remplace x par — —■>

(36) ^{q){i— o.qcosix + ç^)(i — 2ç'cos2;r + ?')(' ~ 2(/>cos2^ -\- q"). . .

= 1 — 2.q COSIX -+- iq^cos^x — iq* cos&x + 2(/"'cos8x — . . . ,

(37) 9(^)sin.r(i — 2ç'cos2.r + q*){i — 2ç*cos2.r -I- </•)(! — ïq'cosix + </")...

= sin.r — (/'sin Sx -h g» sin 5a; + . . . + { — i)"ç"("+''sin(2/i -t- i)a? + . . .

En multipliant ces deux équations membre à membre, on a, après avoir rem-

placé q par y',

(38) [9(7^)]' sin^(i — 2q'' COSIX -\- q*){i — iq* cosix H- ç*)(i— iq'v.ost.x + q"). . . r=(i — 2^2 COSIX + Q.q' cosi^x — . . . )(sin.r — q* sin3^ -i- q^' sinSx — ■ ■ ),

et, k cause de (Sy), le premier membre peut être remplacé par

(89) '-^y ■* [sina.- — g'sin3.r 4-. ■ .+(— i)''(?"("-^''sin(2/t + i).r + ■ ■ .]■

En effectuant, dans le second membre de (38), les multiplications indiquées, et remplaçant les produits de la forme cos2/ja;sinya7 par des sommes de sinus, on obtiendra une série de même forme que celle du premier membre, et dans laquelle le coefficient de sina: devra être ^^ , ! > cherchons ce coefficient. On a

■?.(— i)'"+"ç'"'+'"C"+"cos2ma;sin(art + i)x

= (— i)"'+"g»'+"'("+')sin{2m + 2n + i)x — s\n{2in — in— j)x,

ce qui ne donne de terme en sina; que pour m== n, m = « + i. Ces termes ont donc pour coefficients ^2«(2«+i) g^ ^(2«+i)(2«4-2) Lorsque n est nul les deux termes en sina; deviennent asina? et 2q'^s\nx, mais il ne faut prendre que la moitié du premier, parce que dans le premier facteur du second membre le terme général ag-"'' cos2nx doit être réduit à l'unité pour n = o; le coefficient de sin a; est donc

i + q'-h q'+q'' + .. . + qP(P+'^ + ..-,

et l'on doit avoir

(4o) i--^^^-==i + £f^+g« + .. . + fl/'(''+" + ...;

mais la formule (37) donne, quand on y fait a? = -1

(40 cp(^ )[(. + <?')( i + ^')(n-î«)... ]' = ! + ?'+ 9»+.-. + g^'''+" + -

et des équations (4o) et (4i) on déduit

Si l'on fait

on aura

et par conséquent

^^^' ¥{q]~cf{(i)'

On en déduit, celle équation ayant lieu quel que soit q,

Or q étant plus petit que l'unité, la limite de ces fractions est -j-^» c'est-à-dire l'unité, et l'on a

9il)

<f{q) = {i-q'){i-q'){^-<jn---=--C,

On en conclut (46) et par conséquent

(47) 0 ( =(' — 7') (• — '/*)(' — 9')- ••(•— 2Ç cos2.r -h q''){i — iq' cos'ix + q') ■ . ..

Si l'on fait x = o,

(48) 0(o) = (,-Ç=)(,-fy')(,-.q«)...(,-ç)^(l-53^.(,^.y,....

mais on vérifie aisément, en chassant le dénominateur, et après des réductions évidentes, que q étant plus petit que l'unité, on a

donc

c'est-à-dire (634)

L'équation (aS) donne

H ( co' v/^) = \/^ î" *' 0 ( o ) = v^:^ 7" • y/?^

641. Connaissant 0(0), il est aisé d'en déduire 0(w) etH(w). On a en effet (636j

et en faisant x = o, àamcc devient égal à l'unité, et par conséquent

L'équation

cosamx zzz\/ ^^ — ; — ,

donne également en faisant x = o

(52) H(to) = Y/|0(o).

On peut calculer aussi la valeur de la dérivée H'(a;) quand on y fait x = o.

On a

I H(.r) ^\natnx= ~- =- — ,

par, conséquent

(53) - B{x)= \/ksinamx&{x),

et en prenant la dérivée des deux membres

(5^) B'{x)^ ^/( cosamx \amxQ[x) -i- \Jf,smiimxQ' (x).

En faisant x = o,

Quelques propriétés de deux fonctiuns Q{x) et H(j7).

642. La méthode suivie pour développer en série les fonctions H(ir) et ©(a;) est susceptible de généralisation. Soit (i^[x) une fonction de x satisfaisant aux deux équations . •

(56) , ' 9(.r + 2wj = cp(*-),

(S^) (p(.r + aw'y/ — i)^

On peut, sans autre détinition, la développer en série ordonnée suivant les puis-

sances de e '" , et dans laquelle resteront seulement deux coefficients arbitraires Si l'on pose en effet

cp(.^)= Ao -+- Al e "' + kie " +... + A„e '" H ,

en exprimant comme (639) que le développement satisfait à l'équation (57), on trouvera que les coefficients s'exprimeront tous par deux d'entre eux, et que par conséquent la fonction bien définie qui satisfait aux équations (56), (57) ne contient dans son expression généraleque deux constantes arbitraires. Mais, d'après les propriétés des fonctions &ix) ctE{cr'j,

o{x)=^AQ{xY-+-B'a{xy

est, quelles que soient les constantes A etlî, une solution du système des équations (56) et (57), dont elle est par conséquent la solution la plus générale.

Toute fonction qui satisfait aux deux conditions (56) et (57) est donc nécessairement (le la forme (58).

Les fonctions @'^^{x) et H^(.t) sont évidemment dans ce cas, et l'on doit avoir par conséquent

&,(xY= kQ{xy-+'B'a{xy, E,{xy=x'@{xY + ww{x]\

comme l'ont montré déjà les équations (17) et (18) qui font connaître les constantes A, H, A', B'.

643. Le produit H (a; 4- a). H (a; — a) satisfait, on le déduit aisément des équations (26) et (28), aux deux équations (56) et (57). On a donc

Uix — a)H{x + a)r=AU{xy-h B0(.r)%

A et B étant indépendants de a?.

En faisant successivement œ =1 o, x = a, on en déduit

-H^(a) = B0»(o), o = AHHa)+B0'(rt);

on a donc

et par conséquent

Ulx + a)U(x—a).

ma) 0^0)'

En changeant dans cette formule x en x -h w'\/— 1, en ayant égard aux for-

L Cff/f. inl. 82

mules (23) et (2/1), on en déduit '

(63) 0(ar + «)0(j:-«)= '- ^q^^^^

Si l'on fait a = œ, on trouve

Introduction de &{x) dans l'expression de deux intégrales importantes.

644. L'intégrale / d(f\j\ — k'^ sin^(j) a été nommée par Legendre intégrale ellip-

tigue de seconde espèce.

Si nous posons

r? dot

Jo V

/f^sin'cp

nous aurons (592)

d(f du

Vi — /(^sin^tp,

et par conséquent

(66) 1 rftp y/t — /r^sin'9 = / </«(i — /i^sin'9) = 1 du{j — k'sin'amii)

= j< — /f^ I sinV«mM(

La fonction elliptique de seconde espèce que Legendre nommait E(X-, ç) se ramène donc à l'intégrale I am^amudu, que nous allons exprimer à l'aide de la

fonction 0.

Reprenons les équations (26) et (27)

0(r -H 2&)' v^— i) = — e ir-''"^" '~"0(^).

."l^Cr + ^'^Z-,)^

On en déduit, en différentiant par rapport à œ après avoir pris les logarithmes, et

désignant par &(x) la dérivée de Q{x),

en sorte que la fonction " a la période 2v, et qu'elle augmente de — ^ — quand on ajoute aw'v — i à la variable. La dérivée

dx(d{x) admet donc les périodes aw et aoj'y — i, et si l'on pose

(fi{x) satisfera aux deux équations

!p (a: -f- ■zw) = <f{x),

(fi{x -h 2(à' \/ — i ) = e "

et par conséquent (642) on a

'(67) (f{x) = @{x)&'ix)~ &(xY=A@{xy-+BB{xy,

A et B étant indépendants de x. Si l'on fait x ^ o, il vient

d'où l'on déduit

et en faisant a: = w' y'— 1

Mais l'équation (34)

@{x+o>'yf^i) donne

itxv'-

I T.xV—t

&{x + (ù'sf^)=^^q 'e '" E'{x)-{-—q »e '" H{x),

I nx/ — I

et en faisant x =: o

et .

&-'{fW\l'^i) = —q~^-Yi''[o).

D'ailleurs la formule (23) donne

On déduit donc de l'équation (69)

Et l'on a

On en déduit

Lv'Â^ 0r-^)J ~" /'■' 0("o)" /.' </i 0(^) '

le premier membre est égal (536 j à sin^ama;, et l'on trouve en intégrant

(7') l d.sin'amx^^^.^j-^^^-j,^^,

ce qui résout le problème proposé.