aniz

et par conséquent

cette intégrale devient

^ =dz.

Ç' . dz X I — csin'

amz

Pour l'exprimer à l'aide de la fonction 0 reprenons l'équation {63]

que l'on peut écrire, d'après la relation (5j.

d'où

(•d(x — rt)0:,i + fl)=r — ^-g— — - — (i — h'sin'amx sin'aniu).

I — h^sm^ainx s]n^-iini(i — 0'(o — ,, . — ^-tt— — ^, -,

— /(i — /f' s'in^ anix s'm^nm a )^=— 2l(d{o) -h 2lQ{x)-\- ■2lQ{a)— lQ{x + a)— lQ{x — a],

et, en ditïérenliant par rapporta a,

/i'siti'rt/7i;csinam« d . 0'(«) i &ix—a) i 0'(ar+«)

sin am a — ' ' i

I — li-s\t\''anix sin''ama da

0(fl) 20(a; — «1 zQix-ha)

en multipliant par dx et intégrant entre les limites o et x. On en déduit

, „ r^ /i^ sin'amxsinamadx

J„ I — If's'iu-amx sin'rtm«

/i^ sin'amxsinamadx d . @'(a) i ,Qlx — a)

-T- sin am a = x ' + - l ,-~. — . •

dn 0(«) 2 0(;r + «)

Mais on a

A"-' sin' «w a: sin «m a

I — /r-sin'«w« sin'awx sin«w(rt ^'mainn i— /l'sin'rtwar siri'awrt

Par conséquent l'équation (yS) devient dsmama d sin am a

da

sinama

da Ç' dx

s'mama J^ i — /l'sin'amfl sin

'amx

■~ 0;«) 2 @{x-hn]

et si l'on pose l'intégrale

/r'sin'rtmfl = c,

dx

csm'am X

et par suite la fonction elliptiqui; de troisième espèce de Legendre, se trouve exprimée au moyen de la fonction 0.

6oi DEUXIÈME PARTIE. - CALCUL INTÉGRAL.